微積分和定積分的(請問(wèn)微積分的)

1.請問(wèn)微積分的基礎知識

什么是微積分？它是一種數學(xué)思想，‘無(wú)限細分’就是微分，‘無(wú)限求和’就是積分。

無(wú)限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，它是用一種運動(dòng)的思想看待問(wèn)題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念 如果將整個(gè)數學(xué)比作一棵大樹(shù)，那么初等數學(xué)是樹(shù)的根，名目繁多的數學(xué)分支是樹(shù)枝，而樹(shù)干的主要部分就是微積分。

微積分堪稱(chēng)是人類(lèi)智慧最偉大的成就之一。從17世紀開(kāi)始，隨著(zhù)社會(huì )的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數學(xué)也開(kāi)始研究變化著(zhù)的量，數學(xué)進(jìn)入了“變量數學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門(mén)學(xué)科。

整個(gè)17世紀有數十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng )立做了開(kāi)創(chuàng )性的研究，但使微積分成為數學(xué)的一個(gè)重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。 從微積分成為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

公元前3世紀，古希臘的數學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287—前212）的著(zhù)作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線(xiàn)下的弓形面積、球和球冠面積、螺線(xiàn)下的面積和旋轉雙曲線(xiàn)的體積的問(wèn)題中就隱含著(zhù)近代積分的思想。作為微積分的基礎極限理論來(lái)說(shuō)，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著(zhù)的《莊子》一書(shū)中的“天下篇”中，著(zhù)有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。

三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學(xué)》一書(shū)中，就把曲線(xiàn)看成邊數無(wú)限增大的直線(xiàn)形。

圓的面積就是無(wú)窮多個(gè)三角形面積之和，這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續不可分幾何》，就把曲線(xiàn)看成無(wú)限多條線(xiàn)段（不可分量）拼成的。

這些都為后來(lái)的微積分的誕生作了思想準備。 17世紀生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，不但已有的數學(xué)成果得到進(jìn)一步鞏固、充實(shí)和擴大，而且由于實(shí)踐的需要，開(kāi)始研究運動(dòng)著(zhù)的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著(zhù)的量的一般性和它們之間的依賴(lài)關(guān)系。

到了17世紀下半葉，在前人創(chuàng )造性研究的基礎上，英國大數學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克·牛頓（1642-1727）是從物理學(xué)的角度研究微積分的，他為了解決運動(dòng)問(wèn)題，創(chuàng )立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數學(xué)理論，即牛頓稱(chēng)之為“流數術(shù)”的理論，這實(shí)際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數術(shù)”的主要著(zhù)作是《求曲邊形面積》、《運用無(wú)窮多項方程的計算法》和《流數術(shù)和無(wú)窮極數》。

這些概念是力學(xué)概念的數學(xué)反映。牛頓認為任何運動(dòng)存在于空間，依賴(lài)于時(shí)間，因而他把時(shí)間作為自變量，把和時(shí)間有關(guān)的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形——線(xiàn)、角、體，都看作力學(xué)位移的結果。

因而，一切變量都是流量。 牛頓指出，“流數術(shù)”基本上包括三類(lèi)問(wèn)題。

（l）“已知流量之間的關(guān)系，求它們的流數的關(guān)系”，這相當于微分學(xué)。 （2）已知表示流數之間的關(guān)系的方程，求相應的流量間的關(guān)系。

這相當于積分學(xué)，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數，還包括解微分方程。 （3）“流數術(shù)”應用范圍包括計算曲線(xiàn)的極大值、極小值、求曲線(xiàn)的切線(xiàn)和曲率，求曲線(xiàn)長(cháng)度及計算曲邊形面積等。

牛頓已完全清楚上述（l）與（2）兩類(lèi)問(wèn)題中運算是互逆的運算，于是建立起微分學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系。 牛頓在1665年5月20目的一份手稿中提到“流數術(shù)”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標志。

萊布尼茨使微積分更加簡(jiǎn)潔和準確 而德國數學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz 1646-1716）則是從幾何方面獨立發(fā)現了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數十位數學(xué)家研究過(guò)，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開(kāi)創(chuàng )性貢獻。但是池們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統一性。

萊布尼茨創(chuàng )立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過(guò)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)和曲線(xiàn)包圍的面積，運用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運算法則的。

牛頓在微積分的應用上更多地結合了運動(dòng)學(xué)，造詣較萊布尼茨高一籌，但萊布尼茨的表達形式采用數學(xué)符號卻又遠遠優(yōu)于牛頓一籌，既簡(jiǎn)潔又準確地揭示出微積分的實(shí)質(zhì)，強有力地促進(jìn)了高等數學(xué)的發(fā)展。 萊布尼茨創(chuàng )造的微積分符號，正像印度——阿拉伯數碼促進(jìn)了算術(shù)與代數發(fā)展一樣，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展，萊布尼茨是數學(xué)史上最杰出的符號創(chuàng )造者之一。

牛頓當時(shí)采用的微分和積分符號現在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節省思維勞動(dòng)，運用符號的技巧是數學(xué)成功的關(guān)鍵之一。

2.微積分和定積分是什么

微積分是高等數學(xué)中研究函數的微分、積分以及有關(guān)概念和應用的數學(xué)分支。它是數學(xué)的一個(gè)基礎學(xué)科。內容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應用。微分學(xué)包括求導數的運算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線(xiàn)的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

定積分是積分的一種，是函數f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。這里應注意定積分與不定積分之間的關(guān)系：若定積分存在，則它是一個(gè)具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個(gè)函數表達式，它們僅僅在數學(xué)上有一個(gè)計算關(guān)系（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點(diǎn)關(guān)系都沒(méi)有！一個(gè)函數，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個(gè)連續函數，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則定積分存在；若有跳躍間斷點(diǎn)，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。

3.微積分與定積分的區別與應用

微積分包括微分和積分，微分和積分的運算正好相反，二者互為逆運算。

積分又包括定積分和不定積分。

定積分是指有固定的積分區間，它的積分值是確定的。

不定積分沒(méi)有固定的積分區間，它的積分值是不確定的。

微積分的應用：

(1)運動(dòng)中速度與距離的互求問(wèn)題

(2)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題

(3)求長(cháng)度、面積、體積、與重心問(wèn)題等

4）求最大值和最小值問(wèn)題（二次函數，屬于微積分的一類(lèi)）

定積分的應用：

1，解決求曲邊圖形的面積問(wèn)題

例：求由拋物線(xiàn)與直線(xiàn)圍成的平面圖形D的面積S.

2，求變速直線(xiàn)運動(dòng)的路程

做變速直線(xiàn)運動(dòng)的物體經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數v=v(t) (v(t)≥0）在時(shí)間區間[a,b]上的定積分。

3，變力做功

4.微積分的知識

第二講 微積分基本公式教學(xué)目的：掌握微積分基本公式和變上限積分的性質(zhì) 難 點(diǎn)：變上限積分的性質(zhì)與應用重 點(diǎn)：牛頓----萊布尼茲公式由上一節可以看到，盡管定積分可以用“和式極限”來(lái)計算，但利用定義來(lái)計算定積分一般是相當復雜和困難的，有時(shí)甚至是不可能的. 因此，我們必須尋求計算定積分的簡(jiǎn)便方法. 不難注意到下面的事實(shí)：設變速直線(xiàn)運動(dòng)的速度為 ，路程為 ，則在時(shí)間區間 內運動(dòng)的距離為 ；另一方面，由上節的分析可知，該距離應為 .由此有 （1）即： 在 上的積分等于它的一個(gè)原函數在 的增量. 這一結論是否具有普遍意義呢？下面來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題.1.變上限的積分設函數 在區間 上連續， ，則 在 上連續，故積分 存在，稱(chēng)為變上限的積分. 為避免上限與積分變量混淆，將它改記為 . 顯然，對 上任一點(diǎn) ，都有一個(gè)確定的積分值與之對應（圖5-6），所以它在 上定義了一個(gè)函數，記作 .即 . （2）函數 具有如下重要性質(zhì)： 定理1 如果 在區間 上連續，則由（2） 式定義的積分上限的函數 在 上可導，且有 . （3）證 當上限在點(diǎn) 處有增量 時(shí)， .由于 在此區間連續，由積分中值定理得 （ 介于 與 之間）.故 .當 時(shí)， . 再由 的連續性得 .推論 若函數 在區間 連續，則變上限的函數 是 在 上的一個(gè)原函數.由推論可知：連續函數必有原函數. 由此證明了上一章給出的原函數存在定理.例1 求下列函數的導數：（1） ; (2) .解 （1） .(2) .例2 設 均可導，求 的導數.解 .注 是 的復合函數，它由 ， 復合而成，求導時(shí)要用復合函數求導公式計算， 的導數計算與 完全相似. 例3 求極限 .解 此極限為 型，用洛必達法則求解，故2.牛頓-萊布尼茨公式現在我們來(lái)證明對任意連續函數與（1）式相應的結論成立.定理2 牛頓（Newton）-萊布尼茨（Leibniz）公式 如果函數 是連續函數 在區間 上的一個(gè)原函數，則 （4）證 由于 與 均為 的原函數，由原函數的性質(zhì)知 .上式中令 ，得 ；再令 ，得 .即 .公式（4）稱(chēng)為牛頓-萊布尼茨公式.牛頓-萊布尼茨公式是17世紀后葉由牛頓與萊布尼茨各自獨立地提出來(lái)的，它揭示了定積分與導數的逆運算之間的關(guān)系，因而被稱(chēng)為微積分基本定理. 這個(gè)定理為定積分的計算提供了一種簡(jiǎn)便的方法. 在運用時(shí)常將公式寫(xiě)出如下形式： （5）例4 計算 .解 .例5 計算 .解 .例6 計算 .解 .例7 求 .解 由區間可加性，得. 例8 求正弦曲線(xiàn) 在 上與 軸所圍成的平面圖形（圖5-7）的面積.解 這個(gè)曲邊梯形的面積 .例9 設 .求 .解 因為定積分 是一個(gè)常數，所以，可設 =A，故 .上式兩邊在[0,1]上積分得A= ，移項后，得 ，所以 .小結：1.變上限的積分 如果 在區間 上連續，則有 .2.牛頓-萊布尼茨公式 ，其中 是 的一個(gè)原函數，而原函數可以用不定積分的方法求得.。

5.講解一下定積分與微積分基本定理

沒(méi)有定積分基本定理，但是有微積分基本定理

定理如下：

若函數f(x)在[a,b]上連續，且存在原函數F(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數，則

∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)

即f(x)在[a,b]上的定積分等于對應原函數的函數值的差

這個(gè)公式叫做牛頓—萊布尼茨公式。也叫微積分基本定理

牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來(lái)，也讓定積分的運算有了一個(gè)完善、令人滿(mǎn)意的方法。