微積分和定積分的(請(qǐng)問微積分的)

1.請(qǐng)問微積分的基礎(chǔ)知識(shí)

什么是微積分？它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無限細(xì)分’就是微分，‘無限求和’就是積分。

無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念 如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。

微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。

整個(gè)17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。 從微積分成為一門學(xué)科來說，是在17世紀(jì)，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

公元前3世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎(chǔ)極限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。

三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學(xué)》一書中，就把曲線看成邊數(shù)無限增大的直線形。

圓的面積就是無窮多個(gè)三角形面積之和，這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。

這些都為后來的微積分的誕生作了思想準(zhǔn)備。 17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，不但已有的數(shù)學(xué)成果得到進(jìn)一步鞏固、充實(shí)和擴(kuò)大，而且由于實(shí)踐的需要，開始研究運(yùn)動(dòng)著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關(guān)系。

到了17世紀(jì)下半葉，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，英國大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克·牛頓（1642-1727）是從物理學(xué)的角度研究微積分的，他為了解決運(yùn)動(dòng)問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論，即牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”的理論，這實(shí)際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮極數(shù)》。

這些概念是力學(xué)概念的數(shù)學(xué)反映。牛頓認(rèn)為任何運(yùn)動(dòng)存在于空間，依賴于時(shí)間，因而他把時(shí)間作為自變量，把和時(shí)間有關(guān)的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形——線、角、體，都看作力學(xué)位移的結(jié)果。

因而，一切變量都是流量。 牛頓指出，“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類問題。

（l）“已知流量之間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系”，這相當(dāng)于微分學(xué)。 （2）已知表示流數(shù)之間的關(guān)系的方程，求相應(yīng)的流量間的關(guān)系。

這相當(dāng)于積分學(xué)，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)，還包括解微分方程。 （3）“流數(shù)術(shù)”應(yīng)用范圍包括計(jì)算曲線的極大值、極小值、求曲線的切線和曲率，求曲線長度及計(jì)算曲邊形面積等。

牛頓已完全清楚上述（l）與（2）兩類問題中運(yùn)算是互逆的運(yùn)算，于是建立起微分學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系。 牛頓在1665年5月20目的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標(biāo)志。

萊布尼茨使微積分更加簡潔和準(zhǔn)確 而德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz 1646-1716）則是從幾何方面獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學(xué)家研究過，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。但是池們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統(tǒng)一性。

萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則的。

牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣較萊布尼茨高一籌，但萊布尼茨的表達(dá)形式采用數(shù)學(xué)符號(hào)卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌，既簡潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)有力地促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展。 萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號(hào)，正像印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展，萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號(hào)創(chuàng)造者之一。

牛頓當(dāng)時(shí)采用的微分和積分符號(hào)現(xiàn)在不用了，而萊布尼茨所采用的符號(hào)現(xiàn)今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認(rèn)識(shí)到，好的符號(hào)能大大節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。

2.微積分和定積分是什么

微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。

定積分是積分的一種，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的積分和的極限。這里應(yīng)注意定積分與不定積分之間的關(guān)系：若定積分存在，則它是一個(gè)具體的數(shù)值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，它們僅僅在數(shù)學(xué)上有一個(gè)計(jì)算關(guān)系（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點(diǎn)關(guān)系都沒有！一個(gè)函數(shù)，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個(gè)連續(xù)函數(shù)，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則定積分存在；若有跳躍間斷點(diǎn)，則原函數(shù)一定不存在，即不定積分一定不存在。

3.微積分與定積分的區(qū)別與應(yīng)用

微積分包括微分和積分，微分和積分的運(yùn)算正好相反，二者互為逆運(yùn)算。

積分又包括定積分和不定積分。

定積分是指有固定的積分區(qū)間，它的積分值是確定的。

不定積分沒有固定的積分區(qū)間，它的積分值是不確定的。

微積分的應(yīng)用：

(1)運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問題

(2)求曲線的切線問題

(3)求長度、面積、體積、與重心問題等

4）求最大值和最小值問題（二次函數(shù)，屬于微積分的一類）

定積分的應(yīng)用：

1，解決求曲邊圖形的面積問題

例：求由拋物線與直線圍成的平面圖形D的面積S.

2，求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t) (v(t)≥0）在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分。

3，變力做功

4.微積分的知識(shí)

第二講 微積分基本公式教學(xué)目的：掌握微積分基本公式和變上限積分的性質(zhì) 難 點(diǎn)：變上限積分的性質(zhì)與應(yīng)用重 點(diǎn)：牛頓----萊布尼茲公式由上一節(jié)可以看到，盡管定積分可以用“和式極限”來計(jì)算，但利用定義來計(jì)算定積分一般是相當(dāng)復(fù)雜和困難的，有時(shí)甚至是不可能的. 因此，我們必須尋求計(jì)算定積分的簡便方法. 不難注意到下面的事實(shí)：設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)的速度為 ，路程為 ，則在時(shí)間區(qū)間 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離為 ；另一方面，由上節(jié)的分析可知，該距離應(yīng)為 .由此有 （1）即： 在 上的積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在 的增量. 這一結(jié)論是否具有普遍意義呢？下面來回答這個(gè)問題.1.變上限的積分設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)， ，則 在 上連續(xù)，故積分 存在，稱為變上限的積分. 為避免上限與積分變量混淆，將它改記為 . 顯然，對(duì) 上任一點(diǎn) ，都有一個(gè)確定的積分值與之對(duì)應(yīng)（圖5-6），所以它在 上定義了一個(gè)函數(shù)，記作 .即 . （2）函數(shù) 具有如下重要性質(zhì)： 定理1 如果 在區(qū)間 上連續(xù)，則由（2） 式定義的積分上限的函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且有 . （3）證 當(dāng)上限在點(diǎn) 處有增量 時(shí)， .由于 在此區(qū)間連續(xù)，由積分中值定理得 （ 介于 與 之間）.故 .當(dāng) 時(shí)， . 再由 的連續(xù)性得 .推論 若函數(shù) 在區(qū)間 連續(xù)，則變上限的函數(shù) 是 在 上的一個(gè)原函數(shù).由推論可知：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù). 由此證明了上一章給出的原函數(shù)存在定理.例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） ; (2) .解 （1） .(2) .例2 設(shè) 均可導(dǎo)，求 的導(dǎo)數(shù).解 .注 是 的復(fù)合函數(shù)，它由 ， 復(fù)合而成，求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算， 的導(dǎo)數(shù)計(jì)算與 完全相似. 例3 求極限 .解 此極限為 型，用洛必達(dá)法則求解，故2.牛頓-萊布尼茨公式現(xiàn)在我們來證明對(duì)任意連續(xù)函數(shù)與（1）式相應(yīng)的結(jié)論成立.定理2 牛頓（Newton）-萊布尼茨（Leibniz）公式 如果函數(shù) 是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù)，則 （4）證 由于 與 均為 的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)知 .上式中令 ，得 ；再令 ，得 .即 .公式（4）稱為牛頓-萊布尼茨公式.牛頓-萊布尼茨公式是17世紀(jì)后葉由牛頓與萊布尼茨各自獨(dú)立地提出來的，它揭示了定積分與導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算之間的關(guān)系，因而被稱為微積分基本定理. 這個(gè)定理為定積分的計(jì)算提供了一種簡便的方法. 在運(yùn)用時(shí)常將公式寫出如下形式： （5）例4 計(jì)算 .解 .例5 計(jì)算 .解 .例6 計(jì)算 .解 .例7 求 .解 由區(qū)間可加性，得. 例8 求正弦曲線 在 上與 軸所圍成的平面圖形（圖5-7）的面積.解 這個(gè)曲邊梯形的面積 .例9 設(shè) .求 .解 因?yàn)槎ǚe分 是一個(gè)常數(shù)，所以，可設(shè) =A，故 .上式兩邊在[0,1]上積分得A= ，移項(xiàng)后，得 ，所以 .小結(jié)：1.變上限的積分 如果 在區(qū)間 上連續(xù)，則有 .2.牛頓-萊布尼茨公式 ，其中 是 的一個(gè)原函數(shù)，而原函數(shù)可以用不定積分的方法求得.。

5.講解一下定積分與微積分基本定理

沒有定積分基本定理，但是有微積分基本定理

定理如下：

若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且存在原函數(shù)F(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則

∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)

即f(x)在[a,b]上的定積分等于對(duì)應(yīng)原函數(shù)的函數(shù)值的差

這個(gè)公式叫做牛頓—萊布尼茨公式。也叫微積分基本定理

牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來，也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿意的方法。