建立數(shù)學(xué)建模的方法(常見(jiàn)的建立數(shù)學(xué)模型的方法有哪幾種)

1.常見(jiàn)的建立數(shù)學(xué)模型的方法有哪幾種

—般說(shuō)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類(lèi)、一類(lèi)是機(jī)理分析方法，一類(lèi)是測(cè)試分析方法.機(jī)理分析是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)、分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義.

模型準(zhǔn)備 首先要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對(duì)象的特征，由此初步確定用哪一類(lèi)模型，總之是做好建模的準(zhǔn)備工作.情況明才能方法對(duì)，這一步一定不能忽視，碰到問(wèn)題要虛心向從事實(shí)際工作的同志請(qǐng)教，盡量掌握第一手資料.

模型假設(shè) 根據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言做出假設(shè)，可以說(shuō)是建模的關(guān)鍵一步.一般地說(shuō)，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題不經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題，即使可能，也很難求解.不同的簡(jiǎn)化假設(shè)會(huì)得到不同的模型.假設(shè)作得不合理或過(guò)份簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致模型失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改和補(bǔ)充假設(shè)；假設(shè)作得過(guò)分詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對(duì)象的各方面因素都考慮進(jìn)去，可能使你很難甚至無(wú)法繼續(xù)下一步的工作.通常，作假設(shè)的依據(jù)，一是出于對(duì)問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)，二是來(lái)自對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的綜合.作假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問(wèn)題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識(shí)，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問(wèn)題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問(wèn)題線性化、均勻化.經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用.寫(xiě)出假設(shè)時(shí)，語(yǔ)言要精確，就象做習(xí)題時(shí)寫(xiě)出已知條件那樣.

模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量（常量和變量）之間的等式（或不等式）關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的專(zhuān)門(mén)知識(shí)外，還常常需要較廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識(shí)，以開(kāi)拓思路.當(dāng)然不能要求對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科門(mén)門(mén)精通，而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類(lèi)問(wèn)題以及大體上怎樣解決.相似類(lèi)比法，即根據(jù)不同對(duì)象的某些相似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，也是構(gòu)造模型的一種方法.建模時(shí)還應(yīng)遵循的一個(gè)原則是，盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，因?yàn)槟憬⒌哪Ｐ涂偸窍Ｍ苡懈嗟娜肆私夂褪褂?，而不是只供少?shù)專(zhuān)家欣賞.

模型求解 可以采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù).

模型分析 對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)分析變量間的依賴(lài)關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時(shí)是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào)，有時(shí)則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等.

模型檢驗(yàn) 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問(wèn)題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性.這一步對(duì)于建模的成敗是非常重要的，要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度來(lái)對(duì)待.當(dāng)然，有些模型如核戰(zhàn)爭(zhēng)模型就不可能要求接受實(shí)際的檢驗(yàn)了.模型檢驗(yàn)的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實(shí)際，問(wèn)題通常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模.有些模型要經(jīng)過(guò)幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗(yàn)結(jié)果獲得某種程度上的滿(mǎn)意.

模型應(yīng)用 應(yīng)用的方式自然取決于問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內(nèi)容不是本書(shū)討論的范圍。

應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有建模過(guò)程都要經(jīng)過(guò)這些步驟，有時(shí)各步驟之間的界限也不那么分明.建模時(shí)不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班，本書(shū)的建模實(shí)例就采取了靈活的表述方式

2.建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟

第一、模型準(zhǔn)備 首先要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對(duì)象的特征。

第二、模型假設(shè) 根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。如果對(duì)問(wèn)題的所有因素一概考慮，無(wú)疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡(jiǎn)單，應(yīng)盡量使問(wèn)題線性化、均勻化。

第三、模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這時(shí)，我們便會(huì)進(jìn)入一個(gè)廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)天地，這里在高數(shù)、概率老人的膝下，有許多可愛(ài)的孩子們，他們是圖論、排隊(duì)論、線性規(guī)劃、對(duì)策論等許多許多，真是泱泱大國(guó)，別有洞天。

不過(guò)我們應(yīng)當(dāng)牢記，建立數(shù)學(xué)模型是為了讓更多的人明了并能加以應(yīng)用，因此工具愈簡(jiǎn)單愈有價(jià)值。 第四、模型求解 可以采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)。

一道實(shí)際問(wèn)題的解決往往需要紛繁的計(jì)算，許多時(shí)候還得將系統(tǒng)運(yùn)行情況用計(jì)算機(jī)模擬出來(lái)，因此編程和熟悉數(shù)學(xué)軟件包能力便舉足輕重。 第五、模型分析 對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。

"橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不"。能否對(duì)模型結(jié)果作出細(xì)致精當(dāng)?shù)姆治觯瑳Q定了你的模型能否達(dá)到更高的檔次。

還要記住，不論那種情況都需進(jìn)行誤差分析，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析。

3.數(shù)學(xué)建模有哪些方法

一、機(jī)理分析法 從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來(lái)推導(dǎo)出模型。

1. 比例分析法--建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法。

2. 代數(shù)方法--求解離散問(wèn)題（離散的數(shù)據(jù)、符號(hào)、圖形）的主要方 法。

3. 邏輯方法--是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，對(duì)社會(huì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題，在決策，對(duì)策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用。

4. 常微分方程--解決兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立"瞬時(shí)變化率"的表達(dá)式。

5. 偏微分方程--解決因變量與兩個(gè)以上自變量之間的變化規(guī)律。

二、數(shù)據(jù)分析法 從大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計(jì)方法建立數(shù)學(xué)模型。

1. 回歸分析法--用于對(duì)函數(shù)f(x)的一組觀測(cè)值（xi, fi）i=1,2… n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱(chēng)為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。

2. 時(shí)序分析法--處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱(chēng)為過(guò)程統(tǒng)計(jì)方法。

三、仿真和其他方法

1. 計(jì)算機(jī)仿真（模擬）--實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法，等效于抽樣試驗(yàn)

① 離散系統(tǒng)仿真--有一組狀態(tài)變量。

② 連續(xù)系統(tǒng)仿真--有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

2. 因子試驗(yàn)法--在系統(tǒng)上作局部試驗(yàn)，再根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。

3. 人工現(xiàn)實(shí)法--基于對(duì)系統(tǒng)過(guò)去行為的了解和對(duì)未來(lái)希望達(dá)到的目標(biāo)，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個(gè)系統(tǒng)。

4.數(shù)學(xué)建模的方法有哪些

1. 預(yù)測(cè)模塊：灰色預(yù)測(cè)、時(shí)間序列預(yù)測(cè)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)、曲線擬合（線性回歸）；

2. 歸類(lèi)判別：歐氏距離判別、fisher判別等 ；

3. 圖論：最短路徑求法 ；

4. 最優(yōu)化：列方程組 用lindo 或 lingo軟件解 ；

5. 其他方法：層次分析法 馬爾可夫鏈 主成分析法 等 。

建模常用算法，僅供參考：

1. 蒙特卡羅算法（該算法又稱(chēng)隨機(jī)性模擬算法，是通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)解決 問(wèn)題的算法，同時(shí)間=可以通過(guò)模擬可以來(lái)檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必 用的方法） 。

2. 數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù) 據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab 作為工具） 。

3. 線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類(lèi)問(wèn)題（建模競(jìng)賽大多 數(shù)問(wèn)題屬于最優(yōu)化問(wèn)題，很多時(shí)候這些問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來(lái)描述，通 常使用Lindo、Lingo 軟件實(shí)現(xiàn)） 。

4. 圖論算法（這類(lèi)算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算 法，涉及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備） 。

5. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法（這些算法是算 法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中） 。

6. 最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些 問(wèn)題是用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問(wèn)題的算法，對(duì)于有些問(wèn)題非常有幫助， 但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難，需慎重使用） 。

7. 網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很 多競(jìng)賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種 暴力方案，最好使用一些高級(jí)語(yǔ)言作為編程工具） 。

8. 一些連續(xù)離散化方法（很多問(wèn)題都是實(shí)際來(lái)的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì) 算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替 積分等思想是非常重要的） 。

9. 數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級(jí)語(yǔ)言進(jìn)行編程的話(huà)，那一些數(shù)值分 析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編 寫(xiě)庫(kù)函數(shù)進(jìn)行調(diào)用） 。

10. 圖象處理算法（賽題中有一類(lèi)問(wèn)題與圖形有關(guān)，即使與圖形無(wú)關(guān)，論文 中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問(wèn) 題，通常使用Matlab 進(jìn)行處理）。

5.數(shù)學(xué)建模的幾種方法

1、蒙特卡羅算法（該算法又稱(chēng)隨機(jī)性模擬算法，是通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)解決問(wèn)題的算

法，同時(shí)可以通過(guò)模擬可以來(lái)檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法）

2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要

處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具）

3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類(lèi)問(wèn)題（建模競(jìng)賽大多數(shù)問(wèn)題

屬于最優(yōu)化問(wèn)題，很多時(shí)候這些問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來(lái)描述，通常使用Lindo、

Lingo軟件實(shí)現(xiàn)）

4、圖論算法（這類(lèi)算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉

及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備）

5、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法（這些算法是算法設(shè)計(jì)

中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中）

6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問(wèn)題是

用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問(wèn)題的算法，對(duì)于有些問(wèn)題非常有幫助，但是算法的實(shí)

現(xiàn)比較困難，需慎重使用）

7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競(jìng)賽

題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種暴力方案，最好

使用一些高級(jí)語(yǔ)言作為編程工具）

8、一些連續(xù)離散化方法（很多問(wèn)題都是實(shí)際來(lái)的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只

認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）

9、數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級(jí)語(yǔ)言進(jìn)行編程的話(huà)，那一些數(shù)值分析中常

用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫(xiě)庫(kù)函數(shù)進(jìn)行調(diào)用）

10、圖象處理算法（賽題中有一類(lèi)問(wèn)題與圖形有關(guān)，即使與圖形無(wú)關(guān)，論文中也應(yīng)該

應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步。建立教學(xué)模型的過(guò)程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。要通過(guò)調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問(wèn)題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問(wèn)題。這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)面。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)械廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑，數(shù)學(xué)建模在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要作用越來(lái)越受到數(shù)學(xué)界和工程界的普遍重視，它已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之。

6.數(shù)學(xué)建模有哪些步驟

所謂提煉數(shù)學(xué)模型，就是運(yùn)用科學(xué)抽象法，把復(fù)雜的研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)合理簡(jiǎn)化后，建立起揭示研究對(duì)象定量的規(guī)律性的數(shù)學(xué)關(guān)系式（或方程式）。

這既是數(shù)學(xué)方法中最關(guān)鍵的一步，也是最困難的一步。提煉數(shù)學(xué)模型，一般采用以下六個(gè)步驟完成： 第一步：根據(jù)研究對(duì)象的特點(diǎn)，確定研究對(duì)象屬哪類(lèi)自然事物或自然現(xiàn)象，從而確定使用何種數(shù)學(xué)方法與建立何種數(shù)學(xué)模型。

即首先確定對(duì)象與應(yīng)該使用的數(shù)學(xué)模型的類(lèi)別歸屬問(wèn)題，是屬于“必然”類(lèi)，還是“隨機(jī)”類(lèi)；是“突變”類(lèi)，還是“模糊”類(lèi)。 第二步：確定幾個(gè)基本量和基本的科學(xué)概念，用以反映研究對(duì)象的狀態(tài)。

這需要根據(jù)已有的科學(xué)理論或假說(shuō)及實(shí)驗(yàn)信息資料的分析確定。例如在力學(xué)系統(tǒng)的研究中，首先確定的摹本物理量是質(zhì)主（m）、速度（v）、加速度（α）、時(shí)間（t）、位矢（r）等。

必須注意確定的基本量不能過(guò)多，否則未知數(shù)過(guò)多，難以簡(jiǎn)化成可能數(shù)學(xué)模型，因此必須詵擇出實(shí)質(zhì)性、關(guān)鍵性物理量才行。 第三步：抓住主要矛盾進(jìn)行科學(xué)抽象。

現(xiàn)實(shí)研究對(duì)象是復(fù)雜的，多種因素混在一起，因此，必須變復(fù)雜的研究對(duì)象為簡(jiǎn)單和理想化的研究對(duì)象，做到這一點(diǎn)相當(dāng)困難，關(guān)鍵是分清主次。如何分清主次只能具體問(wèn)題具體分析，但也有兩條基本原則：一是所建數(shù)學(xué)模型一定是可能的，至少可給出近似解；二是近似解的誤差不能超過(guò)實(shí)際問(wèn)題所允許的誤差范圍。

第四步：對(duì)簡(jiǎn)化后的基本量進(jìn)行標(biāo)定，給出它們的科學(xué)內(nèi)涵。即標(biāo)明哪些是常量，哪些是已知量，哪些是待求量，哪些是矢量，哪些是標(biāo)量，這些量的物理含義是什么？ 第五步：按數(shù)學(xué)模型求出結(jié)果。

第六步：驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型。驗(yàn)證時(shí)可根據(jù)情況對(duì)模型進(jìn)行修正，使其符合程度更高，當(dāng)然這以求原模型與實(shí)際情況基本相符為原則。