勾股定理應(yīng)用(勾股定理的應(yīng)用重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn))
1.勾股定理的應(yīng)用重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)
勾股定理的應(yīng)用重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)
第一、①面積法證明勾股定理；
②在直角三角形中已知任意兩邊求第三邊；
③斜邊上高h(yuǎn)與a、b、c關(guān)系；→an=ch
④用相似三角形可以純數(shù)學(xué)證明勾股定理，并有知二求四。
第二、①勾股定理證明的特殊性；
②在直角三角形中已知一邊，并且另外兩邊數(shù)量上存在關(guān)系，求另外的兩條邊；
③在直角三角形中已知一邊，且有一個(gè)角為30°或45°求另外兩邊。
第三、直角三角形所有已的性質(zhì)。
①角的性質(zhì)：兩銳角互余；
②邊的性質(zhì)：勾股定理；
③邊與角的性質(zhì)：
ⅰ.30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
ⅱ.含30°角的直角三角形三邊之比為1：√3:2;
ⅲ.含45°角的直角三角形三邊之比為1:1：√2.
第四、勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。
如求距離，如確定是否直角等。
2.勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
必修作業(yè)模版內(nèi)容 1.教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)科名稱 2.所在班級(jí)情況，學(xué)生特點(diǎn)分析 3.教學(xué)內(nèi)容分析 4.教學(xué)目標(biāo) 5.教學(xué)難點(diǎn)分析 6.教學(xué)課時(shí) 7.教學(xué)過程 8.課堂練習(xí) 9.作業(yè)安排 10. 附錄（教學(xué)資料及資源） 11. 自我問答 北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）教師用書 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 課前預(yù)習(xí)·教學(xué)有方 ◎點(diǎn)擊關(guān)鍵詞 勾股定理 平方 證明 計(jì)算 應(yīng)用 ◎目標(biāo)導(dǎo)航船 1.通過拼圖活動(dòng)和勾股定理的文化背景了解，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理. 2. 能利用材料，通過剪、拼圖驗(yàn)證勾股定理. 3. 能運(yùn)用勾股定理根據(jù)直角三角形的兩條邊求第三條邊，并能解決簡(jiǎn)單的生活、生產(chǎn)實(shí)踐中的問題. 3.重點(diǎn)：勾股定理的證明及應(yīng)用。
4.難點(diǎn)：學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用。 ◎創(chuàng)意開場(chǎng)白 勾股定理是在前面學(xué)習(xí)了直角三角形一些性質(zhì)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，它是幾何的重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，它將形與數(shù)密切聯(lián)系起來(lái)，在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著非常重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用.學(xué)生通過對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解，為今后學(xué)習(xí)解直角三角形打下基礎(chǔ)。
一、欣賞圖片引人 2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)把“趙爽弦圖”確定為 本屆大會(huì)的會(huì)徽。 你見過這個(gè)圖案嗎？ 你聽說過勾股定理嗎？ 引入新課 §18.1勾股定理 二、了解歷史引人 商高是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人。
當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。
商高說："…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。"什么是"勾、股"呢？在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股"。
商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說成"勾三股四弦五"。
由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫作"商高定理"。 三、從一個(gè)美麗的故事引人 世界的許多科學(xué)家正在試探著尋找“外星人”，人們?yōu)榱巳〉门c外星人的聯(lián)系，想了很多方法。
早在1820年，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯曾提出，可在西伯利亞的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在這片空地里種上麥子，以三角形的三條邊為邊種上三片正方形的松樹林，如果有外星人路過地球附近，看到這個(gè)巨大的數(shù)學(xué)圖形，便會(huì)知道：這個(gè)星球上有智慧生命。 我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚也曾提出：若要溝通兩個(gè)不同星球的信息交往，最好利用太空飛船帶上這個(gè)圖形，并發(fā)射到太空中去。
四、從一個(gè)著名問題引人 《九章算術(shù)》有一勾股定理名題：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央.出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長(zhǎng)各幾何.” 本題的意思是：（如圖1）有一水池一丈見方，池中生有一棵類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊嬉怀?，如把它引向岸邊，正好與岸邊齊。問水有多深，該植物有多長(zhǎng)？ 圖1 教師通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的三邊關(guān)系問題，從而出示課題——勾股定理。
◎溫故而知新 【溫故】 1、三角形按照角的大小可以分為：銳角三角形、直角三角形、和鈍角三角形。 2、三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊。
【知新】 勾股定理： 1.直角三角形 兩直角邊的平方和 等于 斜邊的平方 . 2.幾何語(yǔ)言表述：如圖1.1-1，在RtΔABC中， C= 90°。 則： BC 2+ AC 2= AB 2 若BC=a,AC=b,AB=c， 則上面的定理可以表示為： 圖1.1-1 樂學(xué)好思1 到目前為止，學(xué)過的直角△ABC的主要性質(zhì)是：（如圖1.1-2）∠C=90°，（用幾何語(yǔ)言表示） ⑴兩銳角之間的關(guān)系： ； ⑵若D為斜邊中點(diǎn)，則斜邊中線等于斜邊的一半； ⑶若∠B=30°，則∠B的對(duì)邊和斜邊： ； ⑷三邊之間的關(guān)系： . A B C D 圖1.1-2 我的疑問： 課堂研習(xí)·一點(diǎn)即通 ◎知識(shí)全突破 ●知識(shí)點(diǎn)1 探索勾股定理 導(dǎo)航指數(shù)■■■■□□ 1、請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)紙上畫出一個(gè)直角三角形，使它 的兩條直角邊分別是3和4，分別以三邊向外做正方形，如圖1.1-3，計(jì)算 A的 面積 B的 面積 C的 面積 如圖 16 9 25 A B C 圖1.1-3 小組討論，交流 SA+SB=SC 結(jié)論： 2、請(qǐng)你利用坐標(biāo)紙，自己選取你喜歡的兩個(gè)數(shù)作為直角邊，探索上述關(guān)系是否依舊成立？（如圖1.1-4） A B C 圖1.1-4 結(jié)論：SA+SB=SC 即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積. 問題： 1、猜想是否所有的直角三角形的三邊都具有 此性質(zhì)？用直角邊是a、b，斜邊是c的四個(gè)全等直角三角形（圖1.1-5）拼成（圖1.1-6）. 觀察圖形并思考、填空： 大正方形的面積可表示為：（a+b）2 這個(gè)大正方形的面積還可以怎么表示？ ； 于是可列等式為 ； 將等式化簡(jiǎn)、整理，得 。
小結(jié)：勾股定理 圖1.1-7 直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖1.1-7， 即：若△ABC中， ∠ACB=90° ，則 . 變形：若∠ACB=90°， 則a2= c2 -b2 b2 = c2 - a2 教師在此基礎(chǔ)上介紹“勾，股，弦”的含義，進(jìn)行點(diǎn)題，結(jié)合直角三角形，讓學(xué)生從中體驗(yàn)勾股定理蘊(yùn)含的深刻的數(shù)形結(jié)合思想。 ●知識(shí)點(diǎn)2 定理證明：你會(huì)證明勾股定理嗎？ 導(dǎo)航指數(shù)■■■■■ 勾股定理的證明方法有數(shù)百種之多，現(xiàn)列舉兩種典型證法。
請(qǐng)根據(jù)老師分組選取一種證法加以研究，并將結(jié)。
3.勾股定理的應(yīng)用
一、達(dá)綱要求：
1、理解余角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形兩銳角互余等性質(zhì)，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)論證和計(jì)算。
2、了解逆命題和逆命定理的概念，原命題成立它的逆命題不一定成立，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題。
3、掌握勾股定理，會(huì)用勾股定理由直角三角形兩邊長(zhǎng)求第三邊長(zhǎng)；會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
4、初步掌握根據(jù)題設(shè)和有關(guān)定義、公理、定理進(jìn)行推理論證。
5、通過介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)關(guān)于勾股定理的研究，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育。
二、重點(diǎn)提示
1、重點(diǎn) 勾股定理及其應(yīng)用
2、難點(diǎn) 勾股定理及其逆定理的證明
3、關(guān)鍵點(diǎn) 靈活運(yùn)用勾股定理及其逆定理進(jìn)行證題和計(jì)算
三、方法技巧
1、勾股定理是直角三角形三邊存在的一種特殊關(guān)系，它的證明方法很多，用面積法證明比較簡(jiǎn)捷，用面積法證題是一種重要的證題方法，涉及到距離或垂線段時(shí)運(yùn)用面積法解題較方便。
2、勾股定理的應(yīng)用非常廣泛，在進(jìn)行幾何計(jì)算時(shí)，常常要用到代數(shù)知識(shí)的方法，有的幾何題為了應(yīng)用勾股定理，可以作高（或垂線段）構(gòu)造直角三角形。
3、勾股定理的逆定理的證明方法比較特殊，這種證題思路和方法值得學(xué)習(xí)借鑒，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依據(jù)，它可以通過邊的長(zhǎng)度關(guān)系，確定角的大小，因而在應(yīng)用時(shí)，有一定的技巧，解題的思路有時(shí)更為特殊。
4.勾股定理的詳細(xì)介紹及應(yīng)用
在我國(guó)，把直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。數(shù)學(xué)公式中常寫作a^2+b^2=c^2
從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的，這里只舉一例。
例如公元前1700年的一塊泥板（編號(hào)為BM85196）上第九題，大意為“有一根長(zhǎng)為5米的木梁（AB）豎直靠在墻上，上端（A）下滑一米至D。問下端（C）離墻根（B）多遠(yuǎn)？”他們解此題就是用了勾股定理，如圖 設(shè)AB=CD=l=5米，BC=a,AD=h=1米，則BD=l-h=5-1米=4米 ∵a=√[l2-(l-h)2]=√[52-(5-1)2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股三角形。
5.有關(guān)勾股定理的知識(shí)（來(lái)源）
勾股定理又叫商高定理、畢氏定理，或稱畢達(dá)哥拉斯定理（Pythagoras Theorem）.在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。
如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2據(jù)考證，人類對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)，少說也超過 4000 年！中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，就有這條定理的相關(guān)內(nèi)容：周公問：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問數(shù)安從出？”商高答：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。
既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤。得成三、四、五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。
故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也?！睆纳厦嫠倪@段對(duì)話中，我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。
在西方有文字記載的最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。據(jù)說當(dāng)他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。
故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達(dá)哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無(wú)從知道他的證法。
實(shí)際上，在更早期的人類活動(dòng)中，人們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到這一定理的某些特例。除上述兩個(gè)例子外，據(jù)說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來(lái)確定直角。
但是，這一傳說引起過許多數(shù)學(xué)史家的懷疑。比如說，美國(guó)的數(shù)學(xué)史家M·克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道埃及人是否認(rèn)識(shí)到畢達(dá)哥拉斯定理。
我們知道他們有拉繩人（測(cè)量員），但所傳他們?cè)诶K上打結(jié)，把全長(zhǎng)分成長(zhǎng)度為3、4、5的三段，然后用來(lái)形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實(shí)。”不過，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長(zhǎng)度為 30個(gè)單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個(gè)單位時(shí)，請(qǐng)問其下端離開墻角有多遠(yuǎn)？”這是一個(gè)三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊泥板上面刻著一個(gè)奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個(gè)勾股數(shù)表：最右邊一列為從1到15的序號(hào)，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共記載著15組勾股數(shù)。
這說明，勾股定理實(shí)際上早已進(jìn)入了人類知識(shí)的寶庫(kù)。勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。
也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單又實(shí)用，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。
實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比擬的。
（※關(guān)于勾股定理的詳細(xì)證明，由于證明過程較為繁雜，不予收錄。） 人們對(duì)勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。 從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。
勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對(duì)應(yīng)棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個(gè)多面體表面積之和。 若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。
如此等等。 【附錄】 一、【《《周髀算經(jīng)》·》簡(jiǎn)介】 《周髀算經(jīng)》算經(jīng)十書之一。
約成書于公元前二世紀(jì)，原名《周髀》，它是我國(guó)最古老的天文學(xué)著作，主要闡明當(dāng)時(shí)的蓋天說和四分歷法。唐初規(guī)定它為國(guó)子監(jiān)明算科的教材之一，故改名《周髀算經(jīng)》。
《周髀算經(jīng)》在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測(cè)量上的應(yīng)用。原書沒有對(duì)勾股定理進(jìn)行證明，其證明是三國(guó)時(shí)東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的。
《周髀算經(jīng)》使用了相當(dāng)繁復(fù)的分?jǐn)?shù)算法和開平方法。 二、【伽菲爾德證明勾股定理的故事】 1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。
他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使，伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。
只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形。于是伽菲爾德便問他們?cè)诟墒裁矗磕莻€(gè)小男孩頭也不抬地說：“請(qǐng)問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀?！?/p>
小男孩又問道：“如果兩條直角邊長(zhǎng)分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不假思索地。
6.誰(shuí)能告訴我有關(guān)勾股定理的一些知識(shí)
勾股定理的證明勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。
也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。
實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比擬的。
在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。 首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據(jù)說分別來(lái)源于中國(guó)和希臘。
1.中國(guó)方法 畫兩個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。
左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。
左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。
于是 a2+b2=c2。 這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。
既直觀又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。 2.希臘方法 直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。
容易看出， △ABA' ≌△AA'' C。 過C向A''B''引垂線，交AB于C'，交A''B''于C''。
△ABA'與正方形ACDA'同底等高，前者面積為后者面積的一半，△AA''C與矩形AA''C''C'同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面積等于矩形AA''C''C'的面積。
同理可得正方形BB'EC的面積等于矩形B''BC'C''的面積。 于是， S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC， 即 a2+b2=c2。
至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補(bǔ)法得到（請(qǐng)讀者自己證明）。這里只用到簡(jiǎn)單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。
這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。 以上兩個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀念： ⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。
這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。 我國(guó)歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經(jīng)》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。
采用的是割補(bǔ)法： 如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實(shí)，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過拼補(bǔ)搭配，“令出入相補(bǔ)，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之，即弦也”。
趙爽對(duì)勾股定理的證明，顯示了我國(guó)數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀。 西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。
據(jù)說當(dāng)他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。
遺憾的是，畢達(dá)哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無(wú)從知道他的證法。 下面介紹的是美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對(duì)勾股定理的證明。
如圖， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。
這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當(dāng)簡(jiǎn)潔。 1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證明。
5年后，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統(tǒng)”證法，這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。
在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。
作CD⊥BC，垂足為D。則 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得 BC2+AC2=AB(AD+BD)， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。
這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡(jiǎn)潔。它利用了相似三角形的知識(shí)。
在對(duì)勾股定理為數(shù)眾多的證明中，人們也會(huì)犯一些錯(cuò)誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法： 設(shè)△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因?yàn)椤螩=90°，所以cosC=0。
所以 a2+b2=c2。 這一證法，看來(lái)正確，而且簡(jiǎn)單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯(cuò)誤。
原因是余弦定理的證明來(lái)自勾股定理。 人們對(duì)勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直。
