文科拋物線知識點基礎(chǔ)(拋物線的基本知識和公式)
1.拋物線的基本知識和公式
拋物線的標準方程：y方= 2px （這個是焦點在x軸上的方程）
當p>0 時 開口向右 焦點坐標 （p/2,0） 準線方程x=-p/2
p<0時 開口向左 焦點坐標 （-p/2,0） 準線方程x=p/2
x方= 2py（這個是焦點在y 軸上的方程）
當p>0 時 開口向上 焦點坐標 （0,p/2） 準線方程y=-p/2
p<0 時 開口向下 焦點坐標 （0,-p/2） 準線方程y=p/2
2.有關(guān)拋物線的所有知識點
[編輯本段]1、定義 平面內(nèi)，到一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡（或集合）稱之為拋物線。
另外，F(xiàn)稱為"拋物線的焦點"，l稱為"拋物線的準線"。 定義焦點到拋物線的準線的距離為"焦準距"，用p表示.p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€圓錐，可得一個圓，如果傾斜這個平面直至與其一邊平行，就可以做一條拋物線。
[編輯本段]2.拋物線的標準方程 右開口拋物線：y^2=2px 左開口拋物線：y^2=-2px 上開口拋物線：y=x^2/2p 下開口拋物線：y=-x^2/2p [編輯本段]3.拋物線相關(guān)參數(shù)（對于向右開口的拋物線） 離心率：e=1 焦點：（p/2,0） 準線方程l:x=-p/2 頂點：（0,0） 通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點并垂直于軸的弦）：2P [編輯本段]4.它的解析式求法： 知道P 帶入一點 [編輯本段]5.拋物線的光學性質(zhì)： 經(jīng)過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對稱軸.[編輯本段]6、其他 拋物線：y = ax^2 + bx + c (a=/0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時開口向上 a < 0時開口向下 c = 0時拋物線經(jīng)過原點 b = 0時拋物線對稱軸為y軸 還有頂點式y(tǒng) = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以（x-h）的平方+k h是頂點坐標的x k是頂點坐標的y 標準形式的拋物線在x0,y0點的切線就是 ：yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值與最小值 拋物線標準方程：y^2=2px 它表示拋物線的焦點在x的正半軸上，焦點坐標為（p/2,0） 準線方程為x=-p/2 由于拋物線的焦點可在任意半軸，故共有標準方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py [編輯本段]7.用拋物線的對稱性解題 我們知道，拋物線y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是軸對稱圖形，它的對稱軸是直線x = - b/ 2a ，它的頂點在對稱軸上。解決有關(guān)拋物線的問題時，若能巧用拋物線的對稱性，則常可以給出簡捷的解法。
例1 已知拋物線的對稱軸是x =1，拋物線與y軸交于點（0,3），與x軸兩交點間的距離為4，求此拋物線的解析式。 分析 設(shè)拋物線的解析式為y = ax2 + bx + c 。
若按常規(guī)解法，則需要解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，變形過程比較繁雜；若巧用拋物線的對稱性，解法就簡捷了。因為拋物線的對稱軸為x =1，與x軸兩交點間的距離為4，由拋物線的對稱性可知，它與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點。
于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x+1)(x-3)。又因為拋物線與y軸交于點（0,3），所以3 = -3a。
故a =-1。 ∴y = -(x+1)(x-3)，即 y = - x2 + 2x +3。
例2 已知拋物線經(jīng)過A(-1,2)、B(3,2)兩點，其頂點的縱坐標為6，求當x =0時y的值。 分析 要求當x =0時y的值，只要求出拋物線的解析式即可。
由拋物線的對稱性可知，A(-1,2)、B(3,2)兩點是拋物線上的對稱點。由此可知，拋物線的對稱軸是x = 1。
故拋物線的頂點是（1,6）。于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x-1)2+ 6。
因為點（-1,2）在拋物線上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 6，即 y = - x2 + 2x +5。 ∴當x =0時，y = 5。
例3 已知拋物線與x軸兩交點A、B間的距離為4，與y軸交于點C，其頂點為（-1,4），求△ABC的面積。 分析 要求△ABC的面積，只要求出點C的坐標即可。
為此，需求出拋物線的解析式。由題設(shè)可知，拋物線的對稱軸是x = -1。
由拋物線的對稱性可知，A、B兩點的坐標分別為（-3,0）、（1,0）。故可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。
∵點（1,0）在拋物線上， ∴4a + 4 = 0?！郺 = -1。
∴y = -(x+1)2+ 4，即 y = - x2 - 2x +3。 ∴點C的坐標為（0,3）。
∴S△ABC = 1/2*(4*3)= 6。 例4 已知拋物線y = ax2 + bx + c的頂點A的縱坐標是4，與y軸交于點B，與x軸交于C、D兩點，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的兩個根，求四邊形ABCD的面積。
分析 要求四邊形ABCD的面積，求出A、B兩點的坐標即可。為此，要求出拋物線的解析式。
由題設(shè)可知，C、D兩點的坐標分別為（-1,0）、（3,0）。由拋物線的對稱性可知，拋物線的對稱軸是x = 1。
故頂點A的坐標是（1,4）。從而可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。
∵點（-1,0）在拋物線上， ∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 4，即 y = - x2 + 2x +3。 ∴點B的坐標為（0,3）。
連結(jié)OA ，則S四邊形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2*1*3+1/2*3*1+1/2*3*4=9 [編輯本段]8.關(guān)于拋物線的相關(guān)結(jié)論 過拋物線y^2=2px(p>0)焦點F作傾斜角為θ的直線L,L與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦點弦長：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ （1/|FA|）+(1/|FB|)= 2/P。
3.講解一下拋物線的知識
1、定義 平面內(nèi)，到一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡（或集合）稱之為拋物線。
另外，F(xiàn)稱為"拋物線的焦點"，l稱為"拋物線的準線"。 定義焦點到拋物線的準線的距離為"焦準距"，用p表示.p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€圓錐，可得一個圓，如果傾斜這個平面直至與其一邊平行，就可以做一條拋物線。
2.拋物線的標準方程 右開口拋物線：y^2=2px 左開口拋物線：y^2=-2px 上開口拋物線：y=x^2/2p 下開口拋物線：y=-x^2/2p3.拋物線相關(guān)參數(shù)（對于向右開口的拋物線） 離心率：e=1 焦點：（p/2,0） 準線方程l:x=-p/2 頂點：（0,0） 通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點并垂直于軸的弦）：2P4.它的解析式求法： 知道P 帶入一點5.拋物線的光學性質(zhì)： 經(jīng)過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對稱軸.6、其他 拋物線：y = ax^2 + bx + c (a=/0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時開口向上 a < 0時開口向下 c = 0時拋物線經(jīng)過原點 b = 0時拋物線對稱軸為y軸 還有頂點式y(tǒng) = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以（x-h）的平方+k h是頂點坐標的x k是頂點坐標的y 標準形式的拋物線在x0,y0點的切線就是 ：yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值與最小值 拋物線標準方程：y^2=2px 它表示拋物線的焦點在x的正半軸上，焦點坐標為（p/2,0） 準線方程為x=-p/2 由于拋物線的焦點可在任意半軸，故共有標準方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py7.用拋物線的對稱性解題 我們知道，拋物線y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是軸對稱圖形，它的對稱軸是直線x = - b/ 2a ，它的頂點在對稱軸上。解決有關(guān)拋物線的問題時，若能巧用拋物線的對稱性，則?？梢越o出簡捷的解法。
例1 已知拋物線的對稱軸是x =1，拋物線與y軸交于點（0,3），與x軸兩交點間的距離為4，求此拋物線的解析式。 分析 設(shè)拋物線的解析式為y = ax2 + bx + c 。
若按常規(guī)解法，則需要解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，變形過程比較繁雜；若巧用拋物線的對稱性，解法就簡捷了。因為拋物線的對稱軸為x =1，與x軸兩交點間的距離為4，由拋物線的對稱性可知，它與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點。
于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x+1)(x-3)。又因為拋物線與y軸交于點（0,3），所以3 = -3a。
故a =-1。 ∴y = -(x+1)(x-3)，即 y = - x2 + 2x +3。
例2 已知拋物線經(jīng)過A(-1,2)、B(3,2)兩點，其頂點的縱坐標為6，求當x =0時y的值。 分析 要求當x =0時y的值，只要求出拋物線的解析式即可。
由拋物線的對稱性可知，A(-1,2)、B(3,2)兩點是拋物線上的對稱點。由此可知，拋物線的對稱軸是x = 1。
故拋物線的頂點是（1,6）。于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x-1)2+ 6。
因為點（-1,2）在拋物線上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 6，即 y = - x2 + 2x +5。 ∴當x =0時，y = 5。
例3 已知拋物線與x軸兩交點A、B間的距離為4，與y軸交于點C，其頂點為（-1,4），求△ABC的面積。 分析 要求△ABC的面積，只要求出點C的坐標即可。
為此，需求出拋物線的解析式。由題設(shè)可知，拋物線的對稱軸是x = -1。
由拋物線的對稱性可知，A、B兩點的坐標分別為（-3,0）、（1,0）。故可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。
∵點（1,0）在拋物線上， ∴4a + 4 = 0?！郺 = -1。
∴y = -(x+1)2+ 4，即 y = - x2 - 2x +3。 ∴點C的坐標為（0,3）。
∴S△ABC = 1/2*(4*3)= 6。 例4 已知拋物線y = ax2 + bx + c的頂點A的縱坐標是4，與y軸交于點B，與x軸交于C、D兩點，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的兩個根，求四邊形ABCD的面積。
分析 要求四邊形ABCD的面積，求出A、B兩點的坐標即可。為此，要求出拋物線的解析式。
由題設(shè)可知，C、D兩點的坐標分別為（-1,0）、（3,0）。由拋物線的對稱性可知，拋物線的對稱軸是x = 1。
故頂點A的坐標是（1,4）。從而可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。
∵點（-1,0）在拋物線上， ∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 4，即 y = - x2 + 2x +3。 ∴點B的坐標為（0,3）。
連結(jié)OA ，則S四邊形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2*1*3+1/2*3*1+1/2*3*4=98.關(guān)于拋物線的相關(guān)結(jié)論 過拋物線y^2=2px(p>0)焦點F作傾斜角為θ的直線L,L與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦點弦長：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ （1/|FA|）+(1/|FB|)= 2/P。
4.拋物線的基本定理和相關(guān)知識
平面內(nèi)，到一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡（或集合）稱之為拋物線。
另外，F(xiàn)稱為"拋物線的焦點"，l稱為"拋物線的準線"。 定義焦點到拋物線的準線的距離為"焦準距"，用p表示.p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€圓錐，可得一個圓，如果傾斜這個平面直至與其一邊平行，就可以做一條拋物線。
2.拋物線的標準方程 右開口拋物線：y^2=2px 左開口拋物線：y^2=-2px 上開口拋物線：y=x^2/2p 下開口拋物線：y=-x^2/2p 3.拋物線相關(guān)參數(shù)（對于向右開口的拋物線） 離心率：e=1 焦點：（p/2,0） 準線方程l:x=-p/2 頂點：（0,0） 4.它的解析式求法：三點代入法 5.拋物線的光學性質(zhì)：經(jīng)過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對稱軸. 拋物線：y = ax* + bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時開口向上 a。
5.誰給總結(jié)下拋物線的考點
拋物線知識點回顧 拋物線是指平面內(nèi)到一個定點（焦點）和一條定直線l（準線）距離相等的點的軌跡。
它有許多表示方法，比如參數(shù)表示，標準方程表示等等。 它在幾何光學和力學中有重要的用處。
拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標變換下，也可看成二次函數(shù)圖像。
A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在拋物線y2=2px上，則有： ① x1x2 = p2/4 , y1y2 = -p2 （要在直線過焦點時才能成立）； （當A,B在拋物線x2=2py上時，則有x1x2 = -p2 ， y1y2 = p2/4 ， 要在直線過焦點時才能成立） ② 焦點弦長：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)2]； ③ （1/|FA|）+(1/|FB|)= 2/P； ④若OA垂直O(jiān)B則AB過定點M(2P,0)； ⑤焦半徑：|FP|=x+p/2 （拋物線上一點P到焦點F的距離等于P到準線L的距離）； ⑥弦長公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│； ⑦△=b2-4ac； ⑧由拋物線焦點到其切線的垂線距離，是焦點到切點的距離，與到頂點距離的比例中項； ⑨標準形式的拋物線在（x0,y0 ）點的切線是：yy0=p(x+x0) （注：圓錐曲線切線方程中x2=x*x0 , y2 =y*y0 , x=(x+x0)/2 , y=(y+y0)/2 ） ⑴△=b2-4ac>0有兩個實數(shù)根； ⑵△=b2-4ac=0有兩個一樣的實數(shù)根； ⑶△=b2-4ac<0沒實數(shù)根。 來做做練習檢測一下這些知識點你都記住了嗎？武漢九年級數(shù)學函數(shù)觀點看二元一次方程之課外提高模擬題集/questionRes/1853871/。
