近世代數點(diǎn)講解(近世代數的內容)

1.近世代數的內容

近世代數內容包括：

整數、多項式、實(shí)數、復數、矩陣代數、線(xiàn)性群、行列式和標準型、布爾代數和格、超限算術(shù)、環(huán)和理想、代數數域和伽羅華理論等。

近世代數簡(jiǎn)介：

近世代數即抽象代數。 代數是數學(xué)的其中一門(mén)分支，當中可大致分為初等代數學(xué)和抽象代數學(xué)兩部分。初等代數學(xué)是指19世紀上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程組是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性質(zhì)等問(wèn)題。法國數學(xué)家伽羅瓦〔1811-1832〕在1832年運用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數方程的可能性問(wèn)題。他是第一個(gè)提出「群」的思想的數學(xué)家，一般稱(chēng)他為近世代數創(chuàng )始人。他使代數學(xué)由作為解方程的科學(xué)轉變?yōu)檠芯看鷶颠\算結構的科學(xué)，即把代數學(xué)由初等代數時(shí)期推向抽象代數即近世代數時(shí)期。

2.近世代數包括哪些方面?

抽象代數即近世代數。

代數〔Algebra〕是數學(xué)的其中一門(mén)分支，當中可大致分為初等代數學(xué)和抽象代數學(xué)兩部分。 初等代數學(xué)是指19世紀上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程〔組〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性質(zhì)等問(wèn)題。

法國數學(xué)家伽羅瓦〔1811-1832〕在1832年運用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數方程的可能性問(wèn)題。他是第一個(gè)提出「群」的思想的數學(xué)家，一般稱(chēng)他為近世代數的創(chuàng )始人。

他使代數學(xué)由作為解方程的科學(xué)轉變?yōu)檠芯看鷶颠\算結構的科學(xué)，即把代數學(xué)由初等代數時(shí)期推向抽象代數即近世代數時(shí)期。 抽象代數學(xué)對于全部現代數學(xué)和一些其它科學(xué)領(lǐng)域都有重要的影響。

抽象代數學(xué)隨著(zhù)數學(xué)中各分支理論的發(fā)展和應用需要而得到不斷的發(fā)展。經(jīng)過(guò)伯克霍夫、馮.諾伊曼、坎托羅維奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格論確定了在代數學(xué)的地位。

而自20世紀40年代中葉起，作為線(xiàn)性代數的推廣的模論得到進(jìn)一步的發(fā)展并產(chǎn)生深刻的影響。泛代數、同調代數、范疇等新領(lǐng)域也被建立和發(fā)展起來(lái)。

中國數學(xué)家在抽象代數學(xué)的研究始于30年代。當中已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著(zhù)。

============================================================== 現代數學(xué)的基礎課程正在更新。50年代數學(xué)系的教學(xué)計劃，以“高等微積分”、“高等代數”、“高等幾何”為主體。

時(shí)至今日，人們認為光靠這“老三高”已不夠用了，應該發(fā)展“新三高”，即抽象代數、拓撲學(xué)和泛函分析。現代數學(xué)理論是由這三根支柱撐著(zhù)的。

現在，我們來(lái)追尋它們形成和發(fā)展的歷史足跡，并從這一側面窺視20世紀數學(xué)的特征。 一、抽象代數 抽象代數在上一個(gè)世紀已經(jīng)有了良好的開(kāi)端，伽羅瓦在方程求根中就蘊蓄了群的概念。

后來(lái)凱利對群作了抽象定義（Cayley,1821~1895）。他在1849年的一項工作里提出抽象群的概念，可惜沒(méi)有引起反響。

“過(guò)早的抽象落到了聾子的耳朵里”。直到1878年，凱利又寫(xiě)了抽象群的四篇文章才引起注意。

1874年，挪威數學(xué)家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程時(shí)，發(fā)現某些微分方程解對一些連續變換群是不變的，一下子接觸到連續群。1882年，英國的馮·戴克（von Dyck,1856~1934）把群論的三個(gè)主要來(lái)源—方程式論，數論和無(wú)限變換群—納入統一的概念之中，并提出“生成元”概念。

20世紀初給出了群的抽象公里系統。 群論的研究在20世紀沿著(zhù)各個(gè)不同方向展開(kāi)。

例如，找出給定階的有限群的全體。群分解為單群、可解群等問(wèn)題一直被研究著(zhù)。

有限單群的分類(lèi)問(wèn)題在20世紀七、八十年代才獲得可能是最終的解決。伯恩賽德（Burnside,1852~1927年）曾提出過(guò)許多問(wèn)題和猜想。

如1902年問(wèn)道一個(gè)群G是有限生成且每個(gè)元素都是有限階，G是不是有限群？并猜想每一個(gè)非交換的單群是偶數階的。前者至今尚未解決，后者于1963年解決。

舒爾（Schur,1875~1941）于1901年提出有限群表示的問(wèn)題。群特征標的研究由弗羅貝尼烏斯首先提出。

龐加萊對群論抱有特殊的熱情，他說(shuō)：“群論就是那摒棄其內容而化為純粹形式的整個(gè)數學(xué)。”這當然是過(guò)分夸大了。

抽象代數的另一部分是域論。1910年施泰尼茨（Steinitz,1871~1928）發(fā)表《域的代數理論》，成為抽象代數的重要里程碑。

他提出素域的概念，定義了特征數為P的域，證明了每個(gè)域可由其素域經(jīng)添加而得。 環(huán)論是抽象代數中較晚成熟的。

盡管環(huán)和理想的構造在19世紀就可以找到，但抽象理論卻完全是20世紀的產(chǎn)物。韋德伯恩（Wedderburn,1882~1948）《論超復數》一文中，研究了線(xiàn)形結合代數，這種代數實(shí)際上就是環(huán)。

環(huán)和理想的系統理論由諾特給出。她開(kāi)始工作時(shí)，環(huán)和理想的許多結果都已經(jīng)有了，但當她將這些結果給予適當的確切表述時(shí)，就得到了抽象理論。

諾特把多項式環(huán)的理想論包括在一般理想論之中，為代數整數的理想論和代數整函數的理想論建立了共同的基礎。諾特對環(huán)和理想作了十分深刻的研究。

人們認為這一總結性的工作在1926年臻于完成，因此，可以認為抽象代數形成的時(shí)間為1926年。范德瓦爾登根據諾特和阿廷的講稿，寫(xiě)成《近世代數學(xué)》一書(shū)，（1955年第四版時(shí)改名為《代數學(xué)》），其研究對象從研究代數方程根的計算與分布進(jìn)到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構。

這就發(fā)生了質(zhì)變。由于抽象代數的一般性，它的方法和結果帶有基本的性質(zhì)，因而滲入到各個(gè)不同的數學(xué)分支。

范德瓦爾登的《代數學(xué)》至今仍是學(xué)習代數的好書(shū)。人們從抽象代數奠基人——諾特、阿廷等人燦爛的成果中吸取到了營(yíng)養，從那以后，代數研究有了長(cháng)足進(jìn)展。

=============================================================== 抽象代數 抽象代數又稱(chēng)近世代數，它產(chǎn)生于十九世紀。 抽象代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學(xué)學(xué)科。

由于代數可處理實(shí)數與復數以外的物集，例如向量、矩陣超數、變換等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數學(xué)家將個(gè)別的演算經(jīng)由抽。

3.怎樣學(xué)好近世代數

1.課前做好預習工作。

2.上課時(shí)一定要注意聽(tīng)，做好筆記。

3.因為近世代數節與節聯(lián)系性很強，像群，環(huán)，域，。。。其實(shí)這幾節學(xué)好群其他兩節類(lèi)似這樣學(xué)就行了。

4.有什么不明白的一定要請教老師，同學(xué)。

5.課后習題一定按質(zhì)按量完成，不懂就要問(wèn)。

6.如果覺(jué)得自己的老師講的不透徹，可以下一下北師大講課的視屏。想鞏固擴展也可以在網(wǎng)上下一些試卷，考題。。。。

做到以上這些，我想你的近世代數一定沒(méi)問(wèn)題了。

祝你成功！