高中數學(xué)數列例題(高一數列 函數復習重點(diǎn) 常用技巧和一些經(jīng)典例題)
1.高一數列、函數復習重點(diǎn)、常用技巧和一些經(jīng)典例題
數列在整個(gè)高中數學(xué)中處于知識和方法的匯合點(diǎn)，在這個(gè)單元中顯性知識包括三個(gè)概念、兩種公式和一種關(guān)系（an和Sn的關(guān)系），隱性方面包括五種基本方法（觀(guān)察歸納、類(lèi)比聯(lián)想、倒序相加、錯位相減、裂項求和）和五種重要的數學(xué)思想（函數思想、方程思想、分類(lèi)討論的思想、轉化的思想和數形結合的思想）.縱觀(guān)教材，概念和公式是核心，思維是支柱，運算是主體，應用是歸宿，等差、等比數列的概念和性質(zhì)及公式的應用成為復習的重點(diǎn). 數列這個(gè)單元的復習應注意三個(gè)方面：①重視函數與數列的聯(lián)系及方程思想在數列中的應用；②重視等差數列、等比數列的基礎以及可化為等差、等比數列的簡(jiǎn)單問(wèn)題，同時(shí)應重視等差、等比數列性質(zhì)的靈活運用；③設計一些新穎題目，尤其是探索性問(wèn)題，挖掘學(xué)生的潛能，培養學(xué)生的創(chuàng )新意識和創(chuàng )新精神.由于數列綜合題涉及的問(wèn)題背景材料新穎，解法靈活多樣，建議在復習這部分內容時(shí)，啟發(fā)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，培養學(xué)生思維的廣闊性，養成良好的思維品質(zhì). 高考大綱對數列要求 近幾年高考數學(xué)考試大綱沒(méi)有變化，特別是 04、05、06要求都是一樣的，對于《數列》一章的考試內容及考試要求為：（1）理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫(xiě)出數列的前幾項； （2）理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題； （3）理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.”參考資料：?fr=qrl3。
2.求一些高一數列的經(jīng)典例題
數列·例題解析 【例1】 求出下列各數列的一個(gè)通項公式解 （1）所給出數列前5項的分子組成奇數列，其通項公式為2n-1，而前5項的分母所組成的數列的通項公式為2*2n，所以，已知數列的（2）從所給數列的前四項可知，每一項的分子組成偶數列，其通項公式為2n，而分母組成的數列3,15,35,63，…可以變形為1*3,3*5,5*7,7*9，…即每一項可以看成序號n的（2n-1）與2n+1的積，也即（2n-1）(2n+1)，因此，所給數列的通項公式為：（3）從所給數列的前5項可知，每一項的分子都是1，而分母所組成的數列3,8,15,24,35，…可變形為1*3,2*4,3*5,4*6,5*7，…，即每一項可以看成序號n與n+2的積，也即n(n+2).各項的符號，奇數項為負，偶數項為正.因此，所給數列的通項公式為：1,4,9,16,25，…是序號n的平方即n2，分母均為2.因此所【例2】 求出下列各數列的一個(gè)通項公式.（1）2,0,2,0,2，…（3）7,77,777,7777,77777，…（4）0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222，…解 （1）所給數列可改寫(xiě)為1+1,-1+1,1+1,-1+1，…可以看作數列1,-1,1,-1，…的各項都加1，因此所給數的通項公式an=(-1)n+1+1.所給數列亦可看作2,0,2,0…周期性變化，因此所給數列的數列n，分子組成的數列為1,0,1,0,1,0，…可以看作是2,(4)所給數列0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222，…可以改寫(xiě)說(shuō)明1.用歸納法寫(xiě)出數列的一個(gè)通項公式，體現了由特殊到一般的思維規律.對于項的結構比較復雜的數列，可將其分成幾個(gè)部分分別考慮，然后將它們按運算規律結合起來(lái).2.對于常見(jiàn)的一些數列的通項公式（如：自然數列，an=n；自然數的平方數列，an=n2；奇數數列，an=2n-1；偶數數列，an=2n；納出數列的通項公式.3.要掌握對數列各項的同加、同減、同乘以某一個(gè)不等于零的數的變形方法，將其轉化為常見(jiàn)的一些數列.幾項.【例4】 已知下面各數列{an}的前n項和Sn的公式，求數列的通項公式.（1）Sn=2n2-3n (2)Sn=n2+1(3)Sn=2n+3 (4)Sn=(-1)n+1·n解 （1）當n=1時(shí)，a1=S1=-1；當n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5，由于a1也適合此等式，因此an=4n-5.(2)當n=1時(shí)，a1=S1=1+1=2；當n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1，由于a1不適合于此等式，（3）當n=1時(shí)，a1=S1=2+3=5；當n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3)=2n-1，由于a1不適合于此等式，（4）當n=1時(shí)，a1=S1=(-1)2·1=1；當n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·（n-1）=(-1)n+1(2n-1)，由于a1也適可于此等式，因此an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*.說(shuō)明 已知Sn求an時(shí)，要先分n=1和n≥2兩種情況分別進(jìn)行計算，然后驗證能否統一.（1）寫(xiě)出數列的前5項；（2）求an.(2)由第（1）小題中前5項不難求出.【例6】 數列{an}中，a1=1，對所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an=n2.(1)求a3+a5；解 由已知：a1·a2·a3·…·an=n2得說(shuō)明 （1）“知和求差”、“知積求商”是數列中常用的基本方法.（2）運用方程思想求n，若n∈N*，則n是此數列中的項，反之，則不是此數列中的項.【例7】 已知數an=(a2-1)(n3-2n)(a=≠±1)是遞增數列，試確定a的取值范圍.解法一 ∵數列{an}是遞增數列，∴an+1>anan+1-an=(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)]-(a2-1)(n3-2n)=(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)-n3+2n]=(a2-1)(3n2+3n-1)∵（a2-1）(3n2+3n-1)>0又∵n∈N*，∴3n2+3n-1=3n(n+1)-1>0∴a2-1>0，解得a1.解法二 ∵{an}是遞增數列，∴a10∴a1說(shuō)明 本題從函數的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，利用遞增數列這一已知條件，將求取值范圍的問(wèn)題轉化為解不等式的問(wèn)題。
3.高中數學(xué)必修4里關(guān)于數列各種例題的做法
一、等差數列 如果一個(gè)數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個(gè)常數，這個(gè)數列就叫做等差數列，這個(gè)常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。
等差數列的通項公式為：an=a1+(n-1)d (1)前n項和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 從（1）式可以看出，an是n的一次數函（d≠0）或常數函數（d=0）,(n,an)排在一條直線(xiàn)上，由（2）式知，Sn是n的二次函數（d≠0）或一次函數（d=0,a1≠0），且常數項為0。 在等差數列中，等差中項：一般設為Ar,Am+An=2Ar，所以Ar為Am,An的等差中項。
且任意兩項am,an的關(guān)系為：an=am+(n-m)d它可以看作等差數列廣義的通項公式。 從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2，…，n} 若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數列，等等。
和=（首項+末項）*項數÷2 項數=（末項-首項）÷公差+1 首項=2和÷項數-末項末項=2和÷項數-首項項數=（末項-首項）/公差+1例題：已知{an}是等差數列，a2=8,S10=185，從數列中依次取出偶數項組成一個(gè)新的數列{bn}，求數列{bn}的通項公式解：（Ⅰ）設{an}首項為a1，公差為d，則 a1+d=8 10(2a1+9d)/2=185，解得 a1=5 d=3 ∴an=5+3(n-1)，即an=3n+2 （Ⅱ）設b1=a2,b2=a4,b3=a8， 則bn=a2^n = 3*2^n+2二 等比數列如果一個(gè)數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個(gè)常數，這個(gè)數列就叫做等比數列。這個(gè)常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比數列的通項公式是：An=A1*q^(n-1)(2)前n項和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 且任意兩項am,an的關(guān)系為an=am·qn-m(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)若m,n,p,q∈N*，則有：ap·aq=am·an，等比中項：aq·ap=2ar ar則為ap,aq等比中項。記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一個(gè)各項均為正數的等比數列各項取同底數數后構成一個(gè)等差數列；反之，以任一個(gè)正數C為底，用一個(gè)等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。
在這個(gè)意義下，我們說(shuō)：一個(gè)正項等比數列與等差數列是“同構”的。 性質(zhì)： ①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am·an=ap*aq； ②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列. “G是a、b的等比中項”“G^2=ab(G≠0)”. 在等比數列中，首項A1與公比q都不為零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
例題：前n項和為s=3^n+a 當a為多少時(shí) an為等比數列解： 當n>1時(shí)， Sn=3^n+a Sn-1=3^(n-1)+a 故an=Sn-Sn-1=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1) 所以an應該是以2為首項，3為公比的等比數列，但這是n>1的情況，必須保證n=1也符合上面的通項公式. 所以a1=2*3^0=2……（1） 又S1=a1=3^1+a……（2） 根據（1）(2)式得 a=-1。
4.幫我發(fā)些有關(guān)高中數列的例題
例1.從社會(huì )效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據規劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業(yè)收入估計為400萬(wàn)元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會(huì )比上年增加.
(1)設n年內（本年度為第一年）總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫(xiě)出an,bn的表達式；
(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？
命題意圖：本題主要考查建立函數關(guān)系式、數列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
知識依托：本題以函數思想為指導，以數列知識為工具，涉及函數建模、數列求和、不等式的解法等知識點(diǎn).
技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數量關(guān)系，建立數量模型是本題的靈魂，（2）問(wèn)中指數不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.
解：（1）第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800*(1-)萬(wàn)元，…第n年投入為800*(1-)n-1萬(wàn)元，所以，n年內的總投入為
an=800+800*(1-)+…+800*(1-)n-1=800*(1-)k-1
=4000*[1-()n]
第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400*(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400*(1+)n-1萬(wàn)元.所以，n年內的旅游業(yè)總收入為
bn=400+400*(1+)+…+400*(1+)k-1=400*()k-1.
=1600*[()n-1]
(2)設至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此bn-an>0，即：
1600*[()n-1]-4000*[1-()n]>0，令x=()n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x1（舍去）.即（）n
∴至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.
5.數學(xué)數列的基本題型
數 列 摘要：數列問(wèn)題是一個(gè)很有趣的問(wèn)題，生活中的很多事件，都和數列緊緊的聯(lián)系在一起，本課題重點(diǎn)研究了等差數列，等差數列的判定，等差數列的性質(zhì)，等差數列的證明，以及數學(xué)證明中常用的方法數學(xué)歸納法等。
關(guān)鍵詞：等差 等差數列 相連項 前n項和 在數學(xué)發(fā)展的早期已有許多人研究過(guò)數列這一課題，特別是等差數列。例如早在公元前2700年以前埃及數學(xué)的《萊因特紙草書(shū)》中，就記載著(zhù)相關(guān)的問(wèn)題。
在巴比倫晚期的《泥板文書(shū)》中，也有按級遞減分物的等差數列問(wèn)題。其中有 一個(gè)問(wèn)題大意是： 10個(gè)兄弟分100兩銀子，長(cháng)兄最多，依次減少相同數目 。
現知第八兄弟分得6兩，問(wèn)相鄰兩兄弟相差多少？數列是從生活中抽像出來(lái)的，日常生活中遇到的許多實(shí)際問(wèn)題，如貸款、利率、折舊、人口增長(cháng)、放射物的衰變等都可以用等差數列和等比數列來(lái)刻畫(huà)，然而在數學(xué)這門(mén)學(xué)科中數列又是如何定義的呢？數列：按一定次序排列的一列數表示方法：1 列舉法 ：如數列 ， ， 2解析法 ：通項公式、遞推公式求數列通項的方法：觀(guān)察歸納法、待定系數法、公式法數列的分類(lèi)：1 按項數分為有窮數列和無(wú)窮數列 2 按范圍分為有界數列和無(wú)界數列 3 按單調性分為遞增數列、遞減數列和常數列（擺動(dòng)數列）我們在日常生活中經(jīng)常會(huì )碰見(jiàn)一些關(guān)于數列的問(wèn)題 1.四年級同學(xué)小明覺(jué)得自己英語(yǔ)成績(jì)很差，目前他的單詞量只 yes,no,you,me,he 5個(gè) 他決定從今天起每天背記10個(gè)單詞，那么從今天開(kāi)始，他的單詞量逐日增加，依次為：5,15,25,35，… （問(wèn)：多少天后他的單詞量達到3000?） 2.小李是石河子大學(xué)化學(xué)系的一名學(xué)生，他的英語(yǔ)成績(jì)很棒，他在大二時(shí)就過(guò)了外語(yǔ)四級，她目前的單詞量多達4500 但后來(lái)迷上了網(wǎng)絡(luò )游戲，他打算從今天起不再背單詞了，結果不知不覺(jué)地每天忘掉30個(gè)單詞，那么從今天開(kāi)始，她的單詞量逐日遞減，依次為：4500,4470,4440,4410，… （問(wèn)：多少天后她那4500個(gè)單詞全部忘光？）從上面兩例中，我們分別得到兩個(gè)數列 ① 5,15,25,35，… 和 ② 4500,4470,4440,4410，… 大家仔細觀(guān)察一下，看看以上兩個(gè)數列有什么共同特征？？ ·共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個(gè)常數（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等--應指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數列一個(gè)名字--等差數列） 1. 等差數列的定義：如果一個(gè)數列，從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個(gè)常數，我們把這樣的數列叫做等差數列 2. 等差數列的通項公式： 【或 】等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關(guān)系而得 若一等差數列 的首項是 ，公差是d，則據其定義可得： 即： 即： 即： …… 由此歸納等差數列的通項公式可得： 等差中項：如過(guò)三個(gè)數 成等差數列那么中間一項 稱(chēng)為 的等差中項 ∴已知一數列為等差數列，則只要知其首項 和公差d，便可求得其通項 下面我們來(lái)具體研究等差數列的一些問(wèn)題 一、等差數列的判定方法 1. 若數列 從第二項起每一項與前一項的差都為同一個(gè)常數d，即： - =d（常數） 則 是等差數列，其公差為d 2.若數列從第二項起，每一項的兩倍都等于前一項與后一項的和即： 2 = + 則是等差數列（ 是 與 的等差中項） 3. 若數列 的通項 是項數n的一次多項式或者是常數，即： = （p,q為常數）， 則 是等差數列，其首項是 ，公差是 4. 若數列 的前n項和 是項數n的二次項系數為零的二次多項式或一次多項式，即： （k,h為常數），則 是等差數列，其首項是 ，公差是 5. 若數列 是公差為d的等差數列，k是一個(gè)常數，則數列 是公差為kd的等差數列 6.若數列 是公差為d的等差數列，r是一個(gè)常數，則數列 也是公差為d的等差數列例1. 判斷下列數列 是否為等差數列？如果是寫(xiě)出其公差（1） 的第n項為： （2） 的第n項為： （3） 的第n項和為： （4） 的第n項和為： 解：（1）因為 =5 =5 = 所以 是等差數列，其公差為 （2）因為 = 所以 是項數n的一次多項式，從而 是等差數列，其公差為4。(3)因為 = 所以 是項數n的二次多項式，二次多項式系數是3，常數項為零，因此 是等差數列，其公差d=6 (4) 所以 是項數n的二次多項式，常數項為1，因此 不是等差數列 二 、等差數列的基本公式及一些簡(jiǎn)單求法基本公式： （1） = 或者 = = （2） (3) ，特別的 或者 ，特別的 （一） 簡(jiǎn)單公式求法 利用等差數列的基本公式，解一些關(guān)于等差數列的題目，俗話(huà)說(shuō)的好知三求二。
例1. 在等差數列 中，已知 ， ，求 ， ， 解法一：∵ ， ，則 ∴ 解法二：∵ ∴ 小結：第二通項公式 例2.將一個(gè)等差數列的通項公式輸入計算器數列 中，設數列的第s項和第t項分別為 和 ，計算 的值，你能發(fā)現什么結論？并證明你的結論 解：通過(guò)計算發(fā)現 的值恒等于公差證明：設等差數列{ }的首項為 ，末項為 ，公差為d， ⑴-⑵得 小結：①這就是第二通項公式的變形，②幾何特征，直線(xiàn)的斜率（2） 相連項求法如過(guò)三個(gè)數 成等差數列那么中間一項 稱(chēng)為 的等差中項。若三個(gè)數成等差數列時(shí)，我們通常設等差中項為a，公差為d，于是這三個(gè)數為： ，這樣的話(huà)它們的和就是一個(gè)差與公d無(wú)關(guān)的數，（只與等差中項a有關(guān)）這樣通常可以簡(jiǎn)化運算，同理若四個(gè)連續的數成等差數列，我門(mén)通。
6.高中數學(xué)的數列基礎
只有是等差數列的話(huà)。
a(n+1)-an才會(huì )等于一個(gè)恒定的值。
不過(guò)不是定值，有的也能求，但不是等比也不是等差。
比如a(n+1)-an=-(n+2)
a(n+1)+(n+2)=an
a(n+1)+2(n+1)=an+n
這個(gè)就是個(gè)an+n的等比數列。
an-an-1=a1是想問(wèn)什么？
a1是個(gè)恒定的值，那么這個(gè)就是等差數列了。
還有疑問(wèn)追問(wèn)我把。希望對您有所幫助
7.高三數列專(zhuān)題總結
數列是高中數學(xué)的重要內容，它是學(xué)習高等數學(xué)的基礎，是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。在高考中靈活運用通項公式、前n項和公式以及兩種特殊數列的性質(zhì)將是考查的重點(diǎn)。在數列的考查中主要體現了函數與方程、等價(jià)轉化、分類(lèi)討論、歸納等數學(xué)思想，以及待定系數法、換元法、反證法、數學(xué)歸納法等基本方法，應引起足夠的重視。解答數列客觀(guān)題有三個(gè)境界：①基本元法：已知-基本元-所求；②用性質(zhì)解題；③用特殊與一般的思想。
解答題有五類(lèi)：①基本運算題；②與函數、方程、不等式綜合題；③探索性問(wèn)題（包括數學(xué)歸納法）；④推理證明題；⑤關(guān)于數列實(shí)際知識的應用題。
復習策略
1、明確應用本章知識要解決的主要問(wèn)題
(1)對數列概念理解的題目；
(2)等差數列和等比數列中的五個(gè)量 ，“知三求二”的問(wèn)題；
(3)數列知識在實(shí)際方面的應用。
2、解決上述問(wèn)題時(shí)，一是用函數觀(guān)點(diǎn)來(lái)分析、解決有關(guān)數列的問(wèn)題；二是要運用方程的思想解決等差數列和等比數列中的“知三求二”的問(wèn)題；三是能自覺(jué)運用等差、等比數列的特性來(lái)化簡(jiǎn)；四是掌握必要的技巧（如化歸、錯位相減、裂項求和、遞推等）；五是熟練掌握 與 的關(guān)系式的用法。
8.求高一的各種數列的題型
求數列通項公式的常規思想方法列舉（配典型例題）數列是高考中的重點(diǎn)內容之一，每年的高考題都會(huì )考察到，小題一般較易，大題一般較難。
而作為給出數列的一種形式——通項公式，在求數列問(wèn)題中尤其重要。本文給出了求數列通項公式的常用方法。
一. 觀(guān)察法例1：根據數列的前4項，寫(xiě)出它的一個(gè)通項公式：（1）9,99,999,9999，…（2） (3) (4) 解：（1）變形為：101-1,102―1,103―1,104―1，…… ∴通項公式為： （2） (3) (4) .觀(guān)察各項的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項與項數n的關(guān)系。 二、定義法例2： 已知數列{an}是公差為d的等差數列，數列{bn}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數列，若函數f (x) = (x-1)2，且a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q-1),(1)求數列{ a n }和{ b n }的通項公式；解：（1）∵a 1=f (d-1) = (d-2)2,a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n-1)d = 2(n-1)；又b1= f (q+1)= q2,b3 =f (q-1)=(q-2)2，∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=-2，∴bn=b?qn-1=4?（-2）n-1當已知數列為等差或等比數列時(shí)，可直接利用等差或等比數列的通項公式，只需求得首項及公差公比。
三、疊加法例3：已知數列6,9,14,21,30，…求此數列的一個(gè)通項。解 易知 ∵ ……各式相加得 ∴ 一般地，對于型如 類(lèi)的通項公式，只要 能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。
四、疊乘法例4：在數列{ }中， =1, (n+1)? =n? ，求 的表達式。解：由（n+1）? =n? 得 ， = ? ? … = 所以 一般地，對于型如 = （n）? 類(lèi)的通項公式，當 的值可以求得時(shí)，宜采用此方法。
五、公式法若已知數列的前 項和 與 的關(guān)系，求數列 的通項 可用公式 求解。例5：已知下列兩數列 的前n項和sn的公式，求 的通項公式。
（1） 。 (2) 解： （1） = = =3 此時(shí)， 。
∴ =3 為所求數列的通項公式。（2） ，當 時(shí) 由于 不適合于此等式 。
∴ 注意要先分n=1和 兩種情況分別進(jìn)行運算，然后驗證能否統一。 例6. 設數列 的首項為a1=1，前n項和Sn滿(mǎn)足關(guān)系 求證：數列 是等比數列。
解析：因為 所以 所以，數列 是等比數列。六、階差法例7.已知數列 的前 項和 與 的關(guān)系是 ，其中b是與n無(wú)關(guān)的常數，且 。
求出用n和b表示的an的關(guān)系式。解析：首先由公式： 得：利用階差法要注意：遞推公式中某一項的下標與其系數的指數的關(guān)系，即其和為 。
七、待定系數法例8：設數列 的各項是一個(gè)等差數列與一個(gè)等比數列對應項的和，若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12，求通項公式cn解：設 點(diǎn)評：用待定系數法解題時(shí)，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數列 為等差數列：則 ， （b、c為常數），若數列 為等比數列，則 ， 。八、輔助數列法有些數列本身并不是等差或等比數列，但可以經(jīng)過(guò)適當的變形，構造出一個(gè)新的數列為等差或等比數列，從而利用這個(gè)數列求其通項公式。
例9.在數列 中， ， ， ，求 。解析：在 兩邊減去 ，得 ∴ 是以 為首項，以 為公比的等比數列，∴ ，由累加法得 = = … = = = 例10.(2003年全國高考題)設 為常數，且 （ ），證明：對任意n≥1， 證明：設， 用 代入可得 ∴ 是公比為 ，首項為 的等比數列，∴ （ ），即： 型如an+1=pan+f(n) (p為常數且p≠0, p≠1)可用轉化為等比數列等.（1）f(n)= q (q為常數)，可轉化為an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k為首項，p為公比的等比數列。
例11：已知數 的遞推關(guān)系為 ，且 求通項 。解：∵ ∴ 令 則輔助數列 是公比為2的等比數列∴ 即 ∴ 例12： 已知數列{ }中 且 （ ），，求數列的通項公式。
解：∵ ∴ ， 設 ，則 故{ }是以 為首項，1為公差的等差數列 ∴ ∴ 例13.(07全國卷Ⅱ理21)設數列 的首項 .（1）求 的通項公式；解：（1）由 整理得 . 又 ，所以 是首項為 ，公比為 的等比數列，得注：一般地，對遞推關(guān)系式an+1=pan+q (p、q為常數且，p≠0,p≠1)可等價(jià)地改寫(xiě)成 則{ }成等比數列，實(shí)際上，這里的 是特征方程x=px+q的根。（2） f(n)為等比數列，如f(n)= qn (q為常數) ，兩邊同除以qn，得 ，令bn= ，可轉化為bn+1=pbn+q的形式。
例14.已知數列{an}中，a1= , an+1= an+( )n+1，求an的通項公式。解：an+1= an+( )n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 則 bn+1= bn+1 易得 bn= 即 2nan= ∴ an= (3) f(n)為等差數列例15.已知已知數列{an}中，a1=1,an+1+an=3+2 n，求an的通項公式。
解：∵ an+1+an=3+2 n,an+2+an+1=3+2(n+1)，兩式相減得an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1)， ∴ an= 。注：一般地，這類(lèi)數列是遞推數列的重點(diǎn)與難點(diǎn)內容，要理解掌握。
（4） f(n)為非等差數列，非等比數列例16.(07天津卷理)在數列 中， ，其中 .（Ⅰ）求數列 的通項公式；解：由 ， ，可得 ，所以 為等差數列，其公差為1，首項為0，故 ，所以數列 的通項公式為 .這種方法類(lèi)似于換元法， 主要用于已知遞推關(guān)系式求通項公式。九、歸納、猜想如果給出了數列的前幾項或能求出數列的前幾項，我們可以根據前幾項的規律，歸納猜想出數列的通項公式，然后再用數學(xué)歸納法證明之。
例17.(2002年北京春季高考)已知點(diǎn)的序列 ，其中 ， ， 是線(xiàn)段 的中點(diǎn)， 是線(xiàn)段 的中點(diǎn)，…， 是線(xiàn)段 的中點(diǎn)，…（1） 寫(xiě)出 與 之間的關(guān)系式（ ）。（2） 設 ，計算 ，由此推測 的通項公式，并。
9.幫忙總結一下高中數列的基礎知識
高考命題的主體內容之一，應切實(shí)進(jìn)行全面、深入地復習，并在此基礎上，突出解決下述幾個(gè)問(wèn)題：（1）等差、等比數列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個(gè)數列的前 項和 ，則其通項為 若 滿(mǎn)足 則通項公式可寫(xiě)成 .（2）數列計算是本章的中心內容，利用等差數列和等比數列的通項公式、前 項和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計算，是高考命題重點(diǎn)考查的內容.（3）解答有關(guān)數列問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要運用各種數學(xué)思想.善于使用各種數學(xué)思想解答數列題，是我們復習應達到的目標. ①函數思想：等差等比數列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數，所以等差等比數列的某些問(wèn)題可以化為函數問(wèn)題求解. ②分類(lèi)討論思想：用等比數列求和公式應分為 及 ；已知 求 時(shí)，也要進(jìn)行分類(lèi)； ③整體思想：在解數列問(wèn)題時(shí)，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整 體思想求解. （4）在解答有關(guān)的數列應用題時(shí)，要認真地進(jìn)行分析，將實(shí)際問(wèn)題抽象化，轉化為數學(xué)問(wèn)題，再利用有關(guān)數列知識和方法來(lái)解決.解答此類(lèi)應用題是數學(xué)能力的綜合運用，決不是簡(jiǎn)單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數列的第幾項不要弄錯. 一、基本概念： 1、數列的定義及表示方法： 2、數列的項與項數： 3、有窮數列與無(wú)窮數列： 4、遞增（減）、擺動(dòng)、循環(huán)數列： 5、數列的通項公式an: 6、數列的前n項和公式Sn: 7、等差數列、公差d、等差數列的結構： 8、等比數列、公比q、等比數列的結構： 二、基本公式： 9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an= 10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1為首項、ak為已知的第k項） 當d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當d=0時(shí)，an是一個(gè)常數。
11、等差數列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn= 當d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數項為0；當d=0時(shí)（a1≠0）,Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。 12、等比數列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0） 13、等比數列的前n項和公式：當q=1時(shí)，Sn=n a1 （是關(guān)于n的正比例式）； 當q≠1時(shí)，Sn= Sn= 三、有關(guān)等差、等比數列的結論 14、等差數列的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列。
15、等差數列中，若m+n=p+q，則 16、等比數列中，若m+n=p+q，則 17、等比數列的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數列。 18、兩個(gè)等差數列與的和差的數列、仍為等差數列。
19、兩個(gè)等比數列與的積、商、倒數組成的數列 、、仍為等比數列。 20、等差數列的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。
21、等比數列的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。 22、三個(gè)數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個(gè)數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個(gè)數成等比的設法：a/q,a,aq； 四個(gè)數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 （為什么？） 24、為等差數列，則 （c>0）是等比數列。
25、（bn>0）是等比數列，則 （c>0且c 1） 是等差數列。 26. 在等差數列 中： （1）若項數為 ，則 （2）若數為 則， ， 27. 在等比數列 中： （1） 若項數為 ，則 （2）若數為 則， 四、數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。
關(guān)鍵是找數列的通項結構。 28、分組法求數列的和：如an=2n+3n 29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂項法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求數列的最大、最小項的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函數f(n)的。
