二次函數(shù)點(diǎn)總結(jié)(有關(guān)二次函數(shù)的知識點(diǎn))

1.有關(guān)二次函數(shù)的知識點(diǎn)

二次函數(shù)知識點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如 （ 是常數(shù)， ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。

這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) ，而 可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2. 二次函數(shù) 的結(jié)構(gòu)特征：⑴ 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 的二次式， 的最高次數(shù)是2.⑵ 是常數(shù)， 是二次項(xiàng)系數(shù)， 是一次項(xiàng)系數(shù)， 是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式： 的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 的符號開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì)向上 軸 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 有最小值 .向下 軸 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 有最大值 .2. 的性質(zhì)：上加下減。

的符號開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì)向上 軸 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 有最小值 .向下 軸 時(shí)， 隨 的增大而減?。?時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 有最大值 .3. 的性質(zhì)：左加右減。 的符號開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì)向上 X=h 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 隨 的增大而減?。?時(shí)， 有最小值 .向下 X=h 時(shí)， 隨 的增大而減?。?時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 有最大值 .4. 的性質(zhì)： 的符號開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì)向上 X=h 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 隨 的增大而減??； 時(shí)， 有最小值 .向下 X=h 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 有最大值 .三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) ；⑵ 保持拋物線 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到 處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ 值正右移，負(fù)左移； 值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”. 方法二：⑴ 沿 軸平移：向上（下）平移 個(gè)單位， 變成 （或 ）⑵ 沿軸平移：向左（右）平移 個(gè)單位， 變成 （或 ）四、二次函數(shù) 與 的比較從解析式上看， 與 是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即 ，其中 .五、二次函數(shù) 圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù) 化為頂點(diǎn)式 ，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 軸的交點(diǎn) 、以及 關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn) 、與 軸的交點(diǎn) ， （若與 軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與 軸的交點(diǎn)，與 軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù) 的性質(zhì) 1. 當(dāng) 時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .當(dāng) 時(shí)， 隨 的增大而減小；當(dāng) 時(shí)， 隨 的增大而增大；當(dāng) 時(shí)， 有最小值 . 2. 當(dāng) 時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .當(dāng) 時(shí)， 隨 的增大而增大；當(dāng) 時(shí)， 隨 的增大而減??；當(dāng) 時(shí)， 有最大值 .七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 為常數(shù)， ）；2. 頂點(diǎn)式： （ ， ， 為常數(shù)， ）；3. 兩根式： （ ， ， 是拋物線與 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 軸有交點(diǎn)，即 時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù) 二次函數(shù) 中， 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 . ⑴ 當(dāng) 時(shí)，拋物線開口向上， 的值越大，開口越小，反之 的值越小，開口越大； ⑵ 當(dāng) 時(shí)，拋物線開口向下， 的值越小，開口越小，反之 的值越大，開口越大.總結(jié)起來， 決定了拋物線開口的大小和方向， 的正負(fù)決定開口方向， 的大小決定開口的大小.2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù) 確定的前提下， 決定了拋物線的對稱軸. ⑴ 在 的前提下，當(dāng) 時(shí)， ，即拋物線的對稱軸在 軸左側(cè)；當(dāng) 時(shí)， ，即拋物線的對稱軸就是 軸；當(dāng) 時(shí)， ，即拋物線對稱軸在 軸的右側(cè).⑵ 在 的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng) 時(shí)， ，即拋物線的對稱軸在 軸右側(cè)；當(dāng) 時(shí)， ，即拋物線的對稱軸就是 軸；當(dāng) 時(shí)， ，即拋物線對稱軸在 軸的左側(cè).總結(jié)起來，在 確定的前提下， 決定了拋物線對稱軸的位置. 的符號的判定：對稱軸 在 軸左邊則 ，在 軸的右側(cè)則 ，概括的說就是“左同右異”總結(jié)： 3. 常數(shù)項(xiàng) ⑴ 當(dāng) 時(shí)，拋物線與 軸的交點(diǎn)在 軸上方，即拋物線與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； ⑵ 當(dāng) 時(shí)，拋物線與 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ； ⑶ 當(dāng) 時(shí)，拋物線與 軸的交點(diǎn)在 軸下方，即拋物線與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù). 總結(jié)起來， 決定了拋物線與 軸交點(diǎn)的位置. 總之，只要 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于 軸對稱 關(guān)于 軸對稱后，得到的解析式是 ； 。

2.二次函數(shù)的知識點(diǎn)有哪些

二次函數(shù)的知識點(diǎn)

1.二次函數(shù)的定義：y=ax^2+bx+c(a≠0)

2.圖像和性質(zhì)：

二次函數(shù)y=ax^2(a>0)的圖像和性質(zhì)；

二次函數(shù)y=ax^2(a<0)的圖像和性質(zhì)；

二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a>0)的圖像和性質(zhì)；

二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質(zhì).

圖像：列對應(yīng)值描點(diǎn)作圖法；

根據(jù)對稱性作圖法.

圖像的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

性質(zhì)：對稱性，對稱軸及方程；

單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間；

最大值，最小值.

3.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應(yīng)用：

一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)

頂點(diǎn)式：y=a(x-r)^2+h

兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)

4.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換

5.常用方法：

配方法.

待定系數(shù)法.

。..

3.二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納

二次函數(shù) I.定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0,c）6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ= b^2-4acV.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。答案補(bǔ)充 畫拋物線y=ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。

列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。二次函數(shù)解析式的幾種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.說明：（1）任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）,h=0時(shí)，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k=0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 答案補(bǔ)充 如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2；如果對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k 定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。

IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。x是自變量，y是x的函數(shù) 二次函數(shù)的三種表達(dá)式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。

4.二次函數(shù)的知識點(diǎn)有哪些

二次函數(shù)的知識點(diǎn)1.二次函數(shù)的定義：y=ax^2+bx+c(a≠0)2.圖像和性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax^2(a>0)的圖像和性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2(a0)的圖像和性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質(zhì).圖像：列對應(yīng)值描點(diǎn)作圖法； 根據(jù)對稱性作圖法.圖像的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).性質(zhì)：對稱性，對稱軸及方程； 單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間；最大值，最小值.3.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應(yīng)用：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)頂點(diǎn)式：y=a(x-r)^2+h兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換5.常用方法：配方法.待定系數(shù)法。

5.有關(guān)二次函數(shù)的所有知識點(diǎn)

函數(shù)單元測試題1.已知一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,4），則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式是 。

2.若函數(shù)y= -2xm+2是正比例函數(shù)，則m的值是 。 3.一次函數(shù)y= -2x+4的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是 ，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是 ，圖象與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是 。

4.如圖：三個(gè)正比例函數(shù)的圖像分別對應(yīng)的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，則a、b、c的大小關(guān)系是 > > 。 5. 某種儲蓄的月利率為0.15%，現(xiàn)存入1000元，則本息和y（元）與所存月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式是 。

6.已知一次函數(shù)y=-x-(a-2)，當(dāng)a_____時(shí)，函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方。 7.寫出同時(shí)具備下列兩個(gè)條件的一次函數(shù)表達(dá)式（寫出一個(gè)即可） 。

（1）y隨著x的增大而減小。 （2）圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,-3） 8.某商店出售一種瓜子，其售價(jià)y（元）與瓜子質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如下表 質(zhì)量x（千克） 1 2 3 4 …… 售價(jià)y（元） 3.60+0.20 7.20+0.20 10.80+0.20 14.40+0.2 …… 由上表得y與x之間的關(guān)系式是 。

9.某人用充值50元的IC卡從A地向B地打長途電話，按通話時(shí)間收費(fèi)，3分鐘內(nèi)收費(fèi)2.4元，以后每超過1分鐘加收1元，若此人第一次通話t分鐘（3≤t≤45），則IC卡上所余的費(fèi)用y（元）與t（分）之間的關(guān)系式是 。 10.過點(diǎn)P(0,4)，且與直線y=x-3平行的直線解析式為： ；將此直線沿y軸正方向平移2個(gè)單位后得到的直線解析式為： 。

*11.如圖，已知A地在B地正南方3千米處，甲乙兩人同時(shí)分別從A、B兩地向正北方向勻速直行，他們與A地的距離S（千米）與所行的時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示的AC和BD給出，當(dāng)他們行走3小時(shí)后，他們之間的距離為 千米. 二.選擇題（每題3分，共24分） 11.下列函數(shù)（1）y=πx (2)y=2x-1 (3) (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函數(shù)的有（ ） （A）4個(gè) （B）3個(gè) （C）2個(gè) （D）1個(gè) 12.已知點(diǎn)（-4,y1）,(2,y2)都在直線上，則y1、y2大小關(guān)系是（ ） （A）y1>y2 (B)y1=y2 (C)y10,b>0 (B)k>0,b0 (D)k 22.為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，各地采用價(jià)格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)約用水的目的，某市規(guī)定如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月的用水量不超過6立方米時(shí)，水費(fèi)按每立方米a元收費(fèi)，超過6立方米時(shí)，不超過的部分每立方米仍按a元收費(fèi)，超過的部分每立方米按c元收費(fèi)，該市某戶今年9、10月份的用水量和所交水費(fèi)如下表所示： 設(shè)某戶每月用水量x（立方米），應(yīng)交水費(fèi)y（元） （1）求a、c的值。 （2）當(dāng)x≤6,x≥6時(shí)，分別寫出y于x的函數(shù)關(guān)系式。

（3）若該戶11月份用水量為8立方米，求該戶11月份水費(fèi)是多少元？ 23.附加題 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(-1,1)及點(diǎn)N(0,2)，設(shè)該圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形？若存在，把符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)都求出來；若不存在，請說明理由。

6.二次函數(shù)完整的知識點(diǎn)

定義與定義表達(dá)式 我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（quadratic function），稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。

一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。

右邊是整式，且自變量的最高次數(shù)是2。 注意，“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。

未知數(shù)只是一個(gè)數(shù)（具體值未知，但是只取一個(gè)值），變量可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。

從函數(shù)的定義也可看出二者的差別。二次函數(shù)的解法 二次函數(shù)的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入也就是說三個(gè)方程解三個(gè)未知數(shù) 如題方程一8=a2+b2+c 化簡 8=c 也就是說c就是函數(shù)與Y軸的交點(diǎn)。

方程二7=a*36+b*6+c 化簡 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡 7=36a-6b+c。

解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。

對（6,7）(-6,7)這兩個(gè)坐標(biāo) 可以求出一個(gè)對稱軸也就是X=0 。 通過對稱軸公式x=-b/2a 也可以算 。

如果知道過x軸的兩個(gè)坐標(biāo)（y=0的兩個(gè)坐標(biāo)的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根）也可以用對稱軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達(dá)定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。

設(shè)兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,4ac-b^2;/4a）頂點(diǎn)式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）對稱軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：二次函數(shù)（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時(shí)，開口方向向上；a<0時(shí)，開口方向向下。

a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。

牛頓插值公式（已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y1/(x1·x2)(y1為截距) 求根公式二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

求根公式 x是自變量，y是x的二次函數(shù) x1,x2=[-b±（√（b^2-4ac）]/2a （即一元二次方程求根公式）（如右圖） 求根的方法還有因式分解法和配方法 二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)的情況 當(dāng)△=b^2-4ac>0時(shí)， 函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。 當(dāng)△=b^2-4ac=0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。

當(dāng)△=b^2-4ac<0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)。編輯本段圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。

如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。 注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。

2畫出對稱軸，并注明直線X=什么 （X= -b/2a） 3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo) （x1,y1）;(x2, y2)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)（0,c），頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b/2a, (4ac-bx2/4a).軸對稱 1.二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = h或者x=-b/2a 對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)h=0時(shí)，二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0） a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè) b=0，對稱軸是y軸 a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè)頂點(diǎn) 2.二次函數(shù)圖像有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( h,k ) 當(dāng)h=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)k=0時(shí)，P在x軸上。即可表示為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)^2;+k h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a開口 3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)圖像向上開口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。 |a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小。

決定對稱軸位置的因素 4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a>0，與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因?yàn)閷ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a0，與b異號時(shí)（即ab<0），對稱軸在y軸右。

因?yàn)閷ΨQ軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0， 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號 可簡單記憶為同左異右，即當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab<0 ），對稱軸在y軸右。 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的 斜率k的值。

可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)的因素 5.常數(shù)項(xiàng)c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。

二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C） 注意：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k） 與y軸交于（0,C）二次函數(shù)圖。

7.二次函數(shù)的基本知識

我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（quadratic function），稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。右邊是整式，且自變量的最高次數(shù)是2。 注意，“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。未知數(shù)只是一個(gè)數(shù)（具體值未知，但是只取一個(gè)值），變量可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別。

二次函數(shù)的解法

二次函數(shù)的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入也就是說三個(gè)方程解三個(gè)未知數(shù) 如題方程一8=a2+b2+c 化簡 8=c 也就是說c就是函數(shù)與Y軸的交點(diǎn)。 方程二7=a*36+b*6+c 化簡 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡 7=36a-6b+c。 解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。 對（6,7）(-6,7)這兩個(gè)坐標(biāo) 可以求出一個(gè)對稱軸也就是X=0 。 通過對稱軸公式x=-b/2a 也可以算 。 如果知道過x軸的兩個(gè)坐標(biāo)（y=0的兩個(gè)坐標(biāo)的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根）也可以用對稱軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達(dá)定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。 設(shè)兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知頂點(diǎn)（1,2）和另一任意點(diǎn)（3,10），設(shè)y=a(x-1)2+2，把（3,10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2

一般式

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

頂點(diǎn)式

y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）對稱軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。

交點(diǎn)式

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：

二次函數(shù)（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時(shí)，開口方向向上；a

8.初三二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

我就講一點(diǎn)關(guān)鍵的東西吧。

a決定二次函數(shù)的開口方向和開口大小，且a大于0，開口向上，否則反之，a越大開口越小

b決定二次函數(shù)的位置和對稱軸，當(dāng)-2a/b小于0，對稱軸在x軸左側(cè)，否則反之。在此基礎(chǔ)上，可以推出（1）當(dāng)b=0時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在x軸上（2）當(dāng)拋物線在x軸左側(cè)，b的符號與a的符號相同，同正或同負(fù)，在右側(cè)a,b符號相反

c決定拋物線與x軸交點(diǎn)（0,c），當(dāng)c=0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，當(dāng)b,c都=0，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，其他的拋物線增減性畫圖觀察即可，不必死記

拋物線平移化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，上加下減（k），左加右減（h）

△決定與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，△大于0，拋物線與x軸2個(gè)不同的交點(diǎn)△=0,1個(gè)交點(diǎn)；△小于0，無交點(diǎn)