數(shù)列方法(幫忙總結一下高中數(shù)列的)

1.幫忙總結一下高中數(shù)列的基礎知識

高考命題的主體內容之一，應切實進行全面、深入地復習，并在此基礎上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數(shù)列計算是本章的中心內容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式及其性質熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內容.（3）解答有關數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學思想.善于使用各種數(shù)學思想解答數(shù)列題，是我們復習應達到的目標. ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解. ②分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應分為 及 ；已知 求 時，也要進行分類； ③整體思想：在解數(shù)列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整 體思想求解. （4）在解答有關的數(shù)列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉化為數(shù)學問題，再利用有關數(shù)列知識和方法來解決.解答此類應用題是數(shù)學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯. 一、基本概念： 1、數(shù)列的定義及表示方法： 2、數(shù)列的項與項數(shù)： 3、有窮數(shù)列與無窮數(shù)列： 4、遞增（減）、擺動、循環(huán)數(shù)列： 5、數(shù)列的通項公式an: 6、數(shù)列的前n項和公式Sn: 7、等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結構： 8、等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結構： 二、基本公式： 9、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系：an= 10、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1為首項、ak為已知的第k項） 當d≠0時，an是關于n的一次式；當d=0時，an是一個常數(shù)。

11、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn= 當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數(shù)項為0；當d=0時（a1≠0）,Sn=na1是關于n的正比例式。 12、等比數(shù)列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0） 13、等比數(shù)列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 （是關于n的正比例式）； 當q≠1時，Sn= Sn= 三、有關等差、等比數(shù)列的結論 14、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。

15、等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則 16、等比數(shù)列中，若m+n=p+q，則 17、等比數(shù)列的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。 18、兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列、仍為等差數(shù)列。

19、兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列 、、仍為等比數(shù)列。 20、等差數(shù)列的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

21、等比數(shù)列的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。 22、三個數(shù)成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數(shù)成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個數(shù)成等比的設法：a/q,a,aq； 四個數(shù)成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 （為什么？） 24、為等差數(shù)列，則 （c>0）是等比數(shù)列。

25、（bn>0）是等比數(shù)列，則 （c>0且c 1） 是等差數(shù)列。 26. 在等差數(shù)列 中： （1）若項數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， ， 27. 在等比數(shù)列 中： （1） 若項數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， 四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。

關鍵是找數(shù)列的通項結構。 28、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n 29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂項法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求數(shù)列的最大、最小項的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的。

2.數(shù)列的相關知識

高一年級上學期數(shù)學第一冊（上）第三章數(shù)列，接近尾聲，在講了這一章之后，現(xiàn)將該章的一些知識、概念、公式、方法總結如下，希望對同學們的復習備考有所幫助。

知識總結 高考對本單元的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列，每年都不會遺漏. 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內容，又是學習高等數(shù)學的基本，所以在數(shù)學高考中占有重要的地位，近幾年本單元的試題平均占全卷總分的8%左右.大多是一道選擇或填空題，一道解答題.解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度.有關數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及不等式的知識綜合起來.探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn).應用問題有時也要用到本單元的知識.近幾年的數(shù)列解答題文、理分開，文科比理科的要求層次明顯降低，理科試題常要進行分類討論. 數(shù)列高考試題近幾年均是圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的，這不同于80年代側重于遞歸數(shù)列性質的考查.因此數(shù)列的高考復習應著眼于教材的基本知識、基本方法，不要盲目擴展，要把握準《考試說明》的具體要求. 【基本概念】 1.數(shù)列及通項公式：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，……第n項，…… 數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3，…，an，…… 其中an是數(shù)列的第n項，有時我們把上面的數(shù)列簡記作{an}，如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式，如數(shù)列1，，，，……，的通項公式為an=. 2.遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫作這個數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，如在數(shù)列{an}中，a1=1，以后各項中公式an=1+給出，也可求這個數(shù)列中的任意一項. 3.等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示. 4.等差中項：如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項. 容易看出，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項. 5.等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）. 6.等比中項：與等差中項的概念類似，如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項. 如果G是a與b的等比中項，那么=，即 G2=ab 因此，G=±. 反過來，如果a,b同號，G等于或-，即G2=ab，那么G是a、b的等比中項. 【基本公式】 等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d(d為公差).等差數(shù)列的前n項和公式：Sn==na1+d，當d≠0時，an是n的一次函數(shù)，Sn是n的二次函數(shù)（無常數(shù)項） 等比數(shù)列的通項公式：an=a1qn-1(q為公比，q≠0) 等比數(shù)列的前n項和公式：Sn= 注：對公比為字母q的等比數(shù)列求和時，要對q進行討論能否等于1. an= 【基本思想與方法】 1、判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法、中項法、通項公式法、前n項和公式法； 2、判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的方法：定義法、中項法、通項公式法； 3、數(shù)列求和的方法： 1、直接利用公式求和； 2、倒序相加法； 3、錯位相減法； 4、分解轉化（拆項）法； 5、裂項相消法； 6、并項法。 4、函數(shù)思想：將數(shù)列上升為特殊的函數(shù)來認識； 5、數(shù)形結合思想方法：函數(shù)的圖象能直接反映數(shù)列的本質； 6、方程（組）思想：等差、等比數(shù)列中在求時，知三求二，所用的就是方程思想。

7、觀察分析法：求通項公式時常用； 分類討論法：求等比數(shù)列的前n項和公式時要考慮公比是否為1，公比是字母時要進行討論。

3.怎樣學習數(shù)列

數(shù)列是高中數(shù)學十分重要的內容，數(shù)列和其它知識（如函數(shù)、不等式、解析幾何）的聯(lián)系非常密切。

就數(shù)列本身而言，無論從解題方法還是題型的規(guī)律，應當說都是有所遵循的，下面我們做一些簡單的總結。 一、基本知識 1.定義： （1） .數(shù)列：按一定次序排序的一列數(shù) （2） 等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列叫做等差數(shù)列 （3） 等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列叫做等比數(shù)列 2. 通項公式與前n項和公式 （1） 為等差數(shù)列： （ 2） 為等比數(shù)列： （q 3. 常用性質 1. 為等差數(shù)列，則有 （1） 從第二項起，每項是前一項與后一項的等差中項， （n>1） (2) (3) 若m+n = p+q ， 則： ，特殊的：若m+n=2r ，則有： （4） 若 則有： （5） 若 則有： （6） 為等差數(shù)列 為常數(shù)） （7） ┅┅仍成等差數(shù)列 （8） 為等差數(shù)列，則 為等差數(shù)列（p,q為常數(shù)） （9）若項數(shù)為偶數(shù)2n， ， 若項數(shù)為偶數(shù)2n-1, , (10) 2. 為等比數(shù)列，則有 （1） 只有同號的兩數(shù)才存在等比中項 （2） (3) 若m+n = p+q ， 則： ，特殊的：若m+n=2r ，則有： （4） 為等比數(shù)列，則 ， ，{ }為等比數(shù)列（ ） （5） 等比數(shù)列中連續(xù)n項之積構成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列，當 時，連續(xù)項之和仍為等比數(shù)列 （6） 二、基本方法 1.基本量法：這是數(shù)列解題中最常用也是最有效的方法，所謂“基本量法”，就是把條件中的所有量都化成 （等差數(shù)列）或 的形式，最終轉化為解方程組的問題。

2.常用方法：這里是指特定題型的特定方法，如：裂項法、錯項相減法、倒序相加法等，這些方法只有知道它們適用的題型就比較容易掌握，如有困難，可能難在它們的變形上，但變形訓練是一個系統(tǒng)過程，這里我們無法具體說明，好在本站的“本站推薦”欄目中的“試學內容2”恰好是數(shù)列求和問題，你可以參考。 三、常見題型 1. 求通項 如：“ ，求通項公式 這是遞推數(shù)列問題，可以計算出 ，猜出 ，然后再證明，也可以轉化為 ，利用{ }是公比為3的等比數(shù)列，先求出 ，然后再求 . 2. 求和 如：“ 其前n項和是________” 先把每一項的和計算出來，概率自然就找到了。

3. 求最值 如：“ 為等差數(shù)列， ，并求n為何值時， 最大 這類問題的解法比較多，但下面的方法最容易操作也最具有普遍性： 設 最大，則 ，求出相應的 問題也就解決了。 4. 關系 如：“設數(shù)列 的前n項和為 ，求證： 為等比數(shù)列 公式 是解題的工具。

5.與其它綜合 （1）：與函數(shù)綜合（如三角函數(shù)，指對數(shù)函數(shù)等） 如：“已知函數(shù) ，設 數(shù)列的知識要求倒不高，關鍵是通過函數(shù)知識，用相關方法最終轉化為數(shù)列問題。 （2）：與方程綜合 如：“已知關于x的二次方程： 的兩根 滿足， ，則 是否為等比數(shù)列 （3）：與極限綜合 如：“設等比數(shù)列 的公比為 ，且 ，則 的值？” （4）：與二項式定理綜合 如：“已知等比數(shù)列 ，求和 （5）：與實際問題綜合 如：“某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然進行頑強的斗爭，到1998年底全縣的綠化率已達到 %，從1998年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠面積16%被栽上樹，改造成綠洲，而同時原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬僭O全縣面積為1,1998年底綠洲面積為 ，經(jīng)過一年綠洲面積為 ，經(jīng)過n年綠洲面積為 ，求證 ②問：經(jīng)過多少年的努力，才能使全縣綠洲的面積超過60%（年取整數(shù)）？” 以上題目我們不可能一一進行詳細的說明，相信對每一個具體問題你知道如何解決，重要的是通過總結使自己頭腦中對數(shù)列的知識、方法有一個清晰的輪廓，心中有數(shù)，這樣就不至于無所適從。

另外，方法和規(guī)律都是死的，要想真正融會貫通，必須提高對數(shù)學的認識層次，至少對數(shù)學方法的應用、數(shù)學問題的實質能夠在短時間內作出迅速的反應，哪怕反應不那么正確，要達到這一點，只靠總結就不管用了，還要用心去體會。

4.如何學好高一數(shù)學中的數(shù)列知識

重點掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求法和其性質，學會如何求通項公式an以及前n項和Sn，掌握常見的求通項公式的方法（定義法、構造法、猜想和數(shù)學歸納法等），熟練掌握Sn的求法（主要有幾種方法：定義法（等差數(shù)列和等比數(shù)列）、疊加法、錯位相減法（一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列）、分組求和法（一般是一個等比數(shù)列加上一個等差數(shù)列）、裂項相消法（如1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/n(n+)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1) 其實就是運用了公式：

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 這就是裂項）、套用公式法（如已知an=n^2 求sn ，便可運用公式：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1) 這種只能靠記住一下常用公式）除此之外，還有其他的一些方法，靠你在實戰(zhàn)中去不斷總結吧！ ）最后強調一句，做多點練習必不可少的！

祝你學習順利！

5.高中數(shù)列知識點詳解

第一：掌握兩個重要的數(shù)列：等差數(shù)列和和等比數(shù)列，重點掌握它們的性質、通項公式的求法以及n項和的求法（公式）。這兩個數(shù)列是常考的題型。必須要熟練掌握！

第二：學會常見的數(shù)列通項公式an的求法（主要有：定義法、疊加法、曡乘法、構造數(shù)列法、猜想和數(shù)學歸納法）和n項和Sn的求法（公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和法等），同時要多積累和總結這方面的題型。

第三：要想拿高分，還要積累一些常見的放縮公式，以便用于證明一些有關數(shù)列不等式

第一和第二是重點也是基礎，一定要掌握！至于第三嘛，靠慢慢積累才行！

6.數(shù)列的10種通項公式

數(shù)列通項公式的幾種求法 數(shù)列通項公式直接表述了數(shù)列的本質，是給出數(shù)列的一種重要方法。

數(shù)列通項公式具備兩大功能，第一，可以通過數(shù)列通項公式求出數(shù)列中任意一項；第二，可以通過數(shù)列通項公式判斷一個數(shù)是否為數(shù)列的項以及是第幾項等問題；因此，求數(shù)列通項公式是高中數(shù)學中最為常見的題型之一，它既考察等價轉換與化歸的數(shù)學思想，又能反映學生對數(shù)列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生數(shù)學素質的要素之一，因而經(jīng)常滲透在高考和數(shù)學競賽中。本文分別介紹幾種常見的數(shù)列通項的求法，以期能給讀者一些啟示。

一、常規(guī)數(shù)列的通項 例1：求下列數(shù)列的通項公式 （1）2(22—1),3(32—1),4(42—1),5(52—1)，… （2）-1*2(1),2*3(1),-3*4(1),4*5(1)，… （3）3(2),1,7(10),9(17),11(26)，… 解：（1）an=n(n2—1) (2)an= n(n+1)((-1)n) (3) an=2n+1(n2+1) 評注：認真觀察所給數(shù)據(jù)的結構特征，找出an與n的對應關系，正確寫出對應的表達式。二、等差、等比數(shù)列的通項 直接利用通項公式an=a1+(n-1)d和an=a1qn-1寫通項，但先要根據(jù)條件尋求首項、公差和公比。

三、擺動數(shù)列的通項 例2：寫出數(shù)列1,-1,1,-1，…的一個通項公式。解：an=(-1)n-1 變式1：求數(shù)列0,2,0,2,0,2，…的一個通項公式。

分析與解答：若每一項均減去1，數(shù)列相應變?yōu)?1,1,-1,1，… 故數(shù)列的通項公式為an=1+(-1)n 變式2：求數(shù)列3,0,3,0,3,0，…的一個通項公式。分析與解答：若每一項均乘以3(2)，數(shù)列相應變?yōu)?,0,2,0，… 故數(shù)列的通項公式為an=2(3)[1+(-1)n-1 ] 變式3：求數(shù)列5,1,5,1,5,1，…的一個通項公式。

分析與解答1：若每一項均減去1，數(shù)列相應變?yōu)?,0,4,0，… 故數(shù)列的通項公式為an=1++2*3(2)[1+(-1)n-1 ]=1+3(4)[1+(-1)n-1 ] 分析與解答2：若每一項均減去3，數(shù)列相應變?yōu)?,-2,2,-2，… 故數(shù)列的通項公式為an=3+2(-1)n-1 四、循環(huán)數(shù)列的通項 例3：寫出數(shù)列0.1,0.01,0.001,0.0001，…的一個通項公式。 解：an= 10n(1) 變式1：求數(shù)列0.5,0.05,0.005，…的一個通項公式。

解：an= 10n(5) 變式2：求數(shù)列0.9,0.99,0.999，…的一個通項公式。 分析與解答：此數(shù)列每一項分別與數(shù)列0.1,0.01,0.001,0.0001，…的每一項對應相加得到的項全部都是1，于是an=1- 10n(1) 變式3：求數(shù)列0.7,0.77,0.777,0.7777，…的一個通項公式。

解：an= 9(7)(1- 10n(1)） 例4：寫出數(shù)列1,10,100,1000，…的一個通項公式。解：an=10n-1 變式1：求數(shù)列9,99,999，…的一個通項公式。

分析與解答：此數(shù)列每一項都加上1就得到數(shù)列10,100,1000，… 故an=10n-1。變式2：寫出數(shù)列4,44,444,4444…的一個通項公式。

解：an= 9(4)(10n-1) 評注：平日教與學的過程中務必要對基本的數(shù)列通項公式進行過關，這就需要提高課堂教與學的效率，多加總結、反思，注意聯(lián)想與對比分析，做到觸類旁通，也就無需再害怕復雜數(shù)列的通項公式了。五、通過等差、等比數(shù)列求和來求通項 例5：求下列數(shù)列的通項公式 （1）0.7,0.77,0.777，… （2）3,33,333,3333，… （3）12,1212,121212，… （4）1,1+2,1+2+3，… 解：（1）an==7*=7*(0.1+0.01+0.001+…+)=7*(10(1)+102(1)+103(1)+…+10n(1))==9(7)(1-10n(1)) (2)an==3*=3*(1+10+100+…+10n)=3*1-10(1-10n)=3(1)(10n-1) (3)an==12*(1+100+10000+…+100n-1)=12*1-100(1-100n)=33(4)(102n-1) (4)an=1+2+3+…n=2(n(n+1)） 評注：關鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律搞清楚第n項的數(shù)據(jù)特點。

六、用累加法求an=an-1+f(n)型通項 例6:(1)數(shù)列{an}滿足a1=1且an=an-1+3n-2(n≥2)，求an。(2)數(shù)列{an}滿足a1=1且an=an-1+2n(1)(n≥2)，求an。

解：（1）由an=an-1+3n-2知an-an-1=3n-2，記f(n)=3n-2= an-an-1 則an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…（a2-a1）+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 =(3n-2)+[3(n-1)-2]+ [3(n-2)-2]+ …+（3*2-2）+1 =3[n+(n-1)+(n-2)+…+2]-2(n-1)+1 =3*2((n+2)(n-1))-2n+3=2(3n2-n) (2)由an=an-1+2n(1)知an-an-1=2n(1)，記f(n)=2n(1)= an-an-1 則an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…（a2-a1）+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 =2n(1)+2n-1(1)+2n-2(1)+…+22(1)+1=2(1)-2n(1) 評注：當f(n)=d(d為常數(shù))時，數(shù)列{an}就是等差數(shù)列，教材對等差數(shù)列通項公式的推導其實就是用累加法求出來的。七、用累積法求an= f(n)an-1型通項 例7:(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1且an=n(2(n-1))an—1(n≥2)，求an (2)數(shù)列{an}滿足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an 解：（1）由條件 an—1(an)=n(2(n-1)），記f(n)=n(2(n-1)) an= an—1(an)· an—2(an-1)·… a1(a2)·a1=f(n)f(n-1)f(n-2)…f(2)f(2)a1=n(2(n-1)）·n-1(2(n-2)）·n-2(2(n-3)）·…3(2*2)·2(2*1)·1=n(2n-1) (2)an= an—1(an)· an—2(an-1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n-1(1)…22(1)·2(1)=21+2+…+n(1)=2- 2(n(n+1)） 評注：如果f(n)=q(q為常數(shù))，則{an}為等比數(shù)列，an= f(n)an—1型數(shù)列是等比數(shù)列的一種推廣，教材中對等比數(shù)列通項公式地推導其實正是用累積法推導出來的。

八、用待定系數(shù)法求an=Aan-1+B型數(shù)列通項 例8：數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1+2an=1，求其通項公式。解：由已知，an+1+2an=1，即an=-2 an—1+1 令an+x=-2(an-1+x)，則an=-2 an-1-3x，于是-3x=1，故x=-3(1) ∴ an-3(1)=-2(an-1-3(。